Номер 86, страница 34 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 86, страница 34.

Условие.

86 Сравнить числа:

1) $ \sqrt[3]{10} $ и $ \sqrt[5]{20} $;

2) $ \sqrt[4]{5} $ и $ \sqrt[3]{7} $;

3) $ \sqrt{17} $ и $ \sqrt[3]{28} $;

4) $ \sqrt[4]{13} $ и $ \sqrt[5]{23} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt[3]{10}$ и $\sqrt[5]{20}$, необходимо привести их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей 3 и 5 равно 15.
Приведем каждый корень к показателю 15:
$\sqrt[3]{10} = \sqrt[3 \cdot 5]{10^5} = \sqrt[15]{100000}$.
$\sqrt[5]{20} = \sqrt[5 \cdot 3]{20^3} = \sqrt[15]{8 \cdot 1000} = \sqrt[15]{8000}$.
Теперь сравним подкоренные выражения: $100000 > 8000$.
Так как функция $y=\sqrt[15]{x}$ является возрастающей, то из большего подкоренного выражения следует и большее значение корня.
Следовательно, $\sqrt[15]{100000} > \sqrt[15]{8000}$, а значит $\sqrt[3]{10} > \sqrt[5]{20}$.
Ответ: $\sqrt[3]{10} > \sqrt[5]{20}$.

2) Сравним числа $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[3]{7}$. Приведем корни к общему показателю, который является НОК(4, 3) = 12.
Приведем каждый корень к показателю 12:
$\sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[12]{125}$.
$\sqrt[3]{7} = \sqrt[3 \cdot 4]{7^4} = \sqrt[12]{2401}$.
Сравним подкоренные выражения: $125 < 2401$.
Следовательно, $\sqrt[12]{125} < \sqrt[12]{2401}$, а значит $\sqrt[4]{5} < \sqrt[3]{7}$.
Ответ: $\sqrt[4]{5} < \sqrt[3]{7}$.

3) Сравним числа $\sqrt{17}$ и $\sqrt[3]{28}$. Показатели корней равны 2 (для квадратного корня) и 3. Приведем их к общему показателю НОК(2, 3) = 6.
Приведем каждый корень к показателю 6:
$\sqrt{17} = \sqrt[2]{17} = \sqrt[2 \cdot 3]{17^3} = \sqrt[6]{4913}$.
$\sqrt[3]{28} = \sqrt[3 \cdot 2]{28^2} = \sqrt[6]{784}$.
Сравним подкоренные выражения: $4913 > 784$.
Следовательно, $\sqrt[6]{4913} > \sqrt[6]{784}$, а значит $\sqrt{17} > \sqrt[3]{28}$.
Ответ: $\sqrt{17} > \sqrt[3]{28}$.

4) Сравним числа $\sqrt[4]{13}$ и $\sqrt[5]{23}$. Приведем корни к общему показателю НОК(4, 5) = 20.
Приведем каждый корень к показателю 20:
$\sqrt[4]{13} = \sqrt[4 \cdot 5]{13^5} = \sqrt[20]{371293}$.
$\sqrt[5]{23} = \sqrt[5 \cdot 4]{23^4} = \sqrt[20]{(23^2)^2} = \sqrt[20]{529^2} = \sqrt[20]{279841}$.
Сравним подкоренные выражения: $371293 > 279841$.
Следовательно, $\sqrt[20]{371293} > \sqrt[20]{279841}$, а значит $\sqrt[4]{13} > \sqrt[5]{23}$.
Ответ: $\sqrt[4]{13} > \sqrt[5]{23}$.