Номер 82, страница 33 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 82, страница 33.

Условие.

82 1) $\frac{m^{\sqrt{3}} \cdot n^{\sqrt{3}}}{(mn)^{2+\sqrt{3}}}$;

2) $\frac{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7}+1}}{(xy)^{\sqrt{7}}}$;

3) $(a^{\sqrt{2}}-b^{\sqrt{3}})(a^{\sqrt{2}}+b^{\sqrt{3}})$;

4) $(2a^{-0.5} - \frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}})(\frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}} + 2a^{-0.5})$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами степеней. В числителе применим свойство произведения степеней с одинаковым показателем $a^c \cdot b^c = (ab)^c$: $m^{\sqrt{3}} \cdot n^{\sqrt{3}} = (mn)^{\sqrt{3}}$. После этого всё выражение примет вид: $\frac{(mn)^{\sqrt{3}}}{(mn)^{2+\sqrt{3}}}$. Теперь применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$. Основание у нас $mn$, а показатели степеней $\sqrt{3}$ и $2+\sqrt{3}$. Вычитаем показатели: $(mn)^{\sqrt{3} - (2+\sqrt{3})} = (mn)^{\sqrt{3} - 2 - \sqrt{3}} = (mn)^{-2}$.
Ответ: $(mn)^{-2}$

2) Преобразуем данное выражение. В числителе используем свойство сложения показателей $a^{b+c} = a^b \cdot a^c$ для члена $y^{\sqrt{7}+1}$: $y^{\sqrt{7}+1} = y^{\sqrt{7}} \cdot y^1$. В знаменателе раскроем скобки по свойству $(ab)^c = a^c b^c$: $(xy)^{\sqrt{7}} = x^{\sqrt{7}}y^{\sqrt{7}}$. Получаем: $\frac{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7}} \cdot y}{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7}}}$. Сокращаем одинаковые множители $x^{\sqrt{7}}$ и $y^{\sqrt{7}}$ в числителе и знаменателе. В результате остается $y$.
Ответ: $y$

3) Данное выражение является произведением разности и суммы двух выражений, что соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. В нашем случае $x = a^{\sqrt{2}}$ и $y = b^{\sqrt{3}}$. Применяя формулу, получаем: $(a^{\sqrt{2}})^2 - (b^{\sqrt{3}})^2$. Далее используем свойство возведения степени в степень $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$. Получаем: $a^{\sqrt{2} \cdot 2} - b^{\sqrt{3} \cdot 2} = a^{2\sqrt{2}} - b^{2\sqrt{3}}$.
Ответ: $a^{2\sqrt{2}} - b^{2\sqrt{3}}$

4) Для удобства поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(\frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}} + 2a^{-0.5}) = (2a^{-0.5} + \frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}})$. Теперь выражение имеет вид $(2a^{-0.5} - \frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}})(2a^{-0.5} + \frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}})$. Это также формула разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x = 2a^{-0.5}$ и $y = \frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}}$. Применяем формулу: $(2a^{-0.5})^2 - (\frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}})^2$. Возводим в квадрат каждый член по отдельности:
$(2a^{-0.5})^2 = 2^2 \cdot (a^{-0.5})^2 = 4 \cdot a^{-0.5 \cdot 2} = 4a^{-1}$.
$(\frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}})^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot (b^{-\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{9} \cdot b^{-\sqrt{3} \cdot 2} = \frac{1}{9}b^{-2\sqrt{3}}$.
Окончательный результат: $4a^{-1} - \frac{1}{9}b^{-2\sqrt{3}}$.
Ответ: $4a^{-1} - \frac{1}{9}b^{-2\sqrt{3}}$