Номер 75, страница 33 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 75, страница 33.

Условие.

75 Сравнить числа:

1) $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[3]{3}$;

2) $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[4]{7}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[3]{3}$, у которых одинаковый показатель корня (3), достаточно сравнить их подкоренные выражения. Для положительных чисел, чем больше подкоренное выражение, тем больше и сам корень.

Сравниваем подкоренные выражения: $2$ и $3$.

Поскольку $2 < 3$, то и $\sqrt[3]{2} < \sqrt[3]{3}$.

Для проверки можно возвести оба числа в третью степень. Так как оба числа положительные, знак неравенства при этом сохранится:

$(\sqrt[3]{2})^3 = 2$

$(\sqrt[3]{3})^3 = 3$

Так как $2 < 3$, наше сравнение верно.

Ответ: $\sqrt[3]{2} < \sqrt[3]{3}$.

2) Аналогично сравним числа $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[4]{7}$. Показатели корней у них также одинаковы и равны 4.

Сравниваем подкоренные выражения: $5$ и $7$.

Поскольку $5 < 7$, то и $\sqrt[4]{5} < \sqrt[4]{7}$.

Проверим, возведя оба положительных числа в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{5})^4 = 5$

$(\sqrt[4]{7})^4 = 7$

Так как $5 < 7$, то и $\sqrt[4]{5} < \sqrt[4]{7}$.

Ответ: $\sqrt[4]{5} < \sqrt[4]{7}$.