Номер 70, страница 32 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 70, страница 32.

Условие.

70 1) $2^{1-2\sqrt{2}} \cdot 4^{\sqrt{2}};$

2) $3^{2-3\sqrt{3}} \cdot 27^{\sqrt{3}};$

3) $9^{1+\sqrt{3}} \cdot 3^{1-\sqrt{3}} \cdot 3^{-2-\sqrt{3}};$

4) $4^{3+\sqrt{2}} \cdot 2^{1-\sqrt{2}} \cdot 2^{-4-\sqrt{2}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $2^{1-2\sqrt{2}} \cdot 4^{\sqrt{2}}$

Для упрощения этого выражения приведем все степени к одному основанию. Мы знаем, что $4 = 2^2$.

$2^{1-2\sqrt{2}} \cdot 4^{\sqrt{2}} = 2^{1-2\sqrt{2}} \cdot (2^2)^{\sqrt{2}}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$(2^2)^{\sqrt{2}} = 2^{2\sqrt{2}}$

Теперь выражение выглядит так:

$2^{1-2\sqrt{2}} \cdot 2^{2\sqrt{2}}$

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:

$2^{(1-2\sqrt{2}) + 2\sqrt{2}} = 2^{1} = 2$

Ответ: 2

2) $3^{2-3\sqrt{3}} \cdot 27^{\sqrt{3}}$

Приведем все степени к основанию 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$.

$3^{2-3\sqrt{3}} \cdot (3^3)^{\sqrt{3}}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(3^3)^{\sqrt{3}} = 3^{3\sqrt{3}}$

Подставим обратно в выражение:

$3^{2-3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}$

По свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{(2-3\sqrt{3}) + 3\sqrt{3}} = 3^{2} = 9$

Ответ: 9

3) $9^{1+\sqrt{3}} \cdot 3^{1-\sqrt{3}} \cdot 3^{-2-\sqrt{3}}$

Сначала приведем все множители к одному основанию 3. Так как $9 = 3^2$, то:

$9^{1+\sqrt{3}} = (3^2)^{1+\sqrt{3}} = 3^{2(1+\sqrt{3})} = 3^{2+2\sqrt{3}}$

Теперь все выражение имеет вид:

$3^{2+2\sqrt{3}} \cdot 3^{1-\sqrt{3}} \cdot 3^{-2-\sqrt{3}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$3^{(2+2\sqrt{3}) + (1-\sqrt{3}) + (-2-\sqrt{3})}$

Сложим показатели:

$(2+1-2) + (2\sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3}) = 1 + 0 = 1$

Таким образом, получаем:

$3^1 = 3$

Ответ: 3

4) $4^{3+\sqrt{2}} \cdot 2^{1-\sqrt{2}} \cdot 2^{-4-\sqrt{2}}$

Приведем все степени к основанию 2. Так как $4 = 2^2$, заменим $4^{3+\sqrt{2}}$:

$4^{3+\sqrt{2}} = (2^2)^{3+\sqrt{2}} = 2^{2(3+\sqrt{2})} = 2^{6+2\sqrt{2}}$

Теперь все выражение выглядит так:

$2^{6+2\sqrt{2}} \cdot 2^{1-\sqrt{2}} \cdot 2^{-4-\sqrt{2}}$

Сложим показатели степеней, так как основания одинаковы:

$2^{(6+2\sqrt{2}) + (1-\sqrt{2}) + (-4-\sqrt{2})}$

Упростим показатель:

$(6+1-4) + (2\sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2}) = 3 + 0 = 3$

В результате получаем:

$2^3 = 8$

Ответ: 8