Номер 74, страница 33 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 74, страница 33.

Условие.

74 Упростить выражение:

1) $a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1-\sqrt{2}}$;

2) $a^{\sqrt{3}-1} \cdot a^{\sqrt{3}+1}$;

3) $(b^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} : b^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1-\sqrt{2}}$ воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$).
Сложим показатели степеней: $\sqrt{2} + (1-\sqrt{2})$.
$a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1-\sqrt{2}} = a^{\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2}} = a^1 = a$.
Ответ: $a$.

2) Для упрощения выражения $a^{\sqrt{3}-1} \cdot a^{\sqrt{3}+1}$ используем то же свойство степеней, что и в предыдущем пункте ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$).
Складываем показатели: $(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1)$.
$a^{\sqrt{3}-1} \cdot a^{\sqrt{3}+1} = a^{(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1)} = a^{\sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1} = a^{2\sqrt{3}}$.
Ответ: $a^{2\sqrt{3}}$.

3) Для упрощения выражения $(b^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} : b^2$ нам понадобятся два свойства степеней:
1. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
2. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $x^m : x^n = x^{m-n}$.
Сначала упростим первую часть выражения, используя первое свойство:
$(b^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} = b^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = b^3$.
Теперь выполним деление, используя второе свойство:
$b^3 : b^2 = b^{3-2} = b^1 = b$.
Ответ: $b$.