Номер 72, страница 32 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 72, страница 32.

Условие.

72 Выяснить, какое из чисел больше:

1) $3^{\sqrt{71}}$ или $3^{\sqrt{69}};

2) $(\frac{1}{3})^{\sqrt{3}}$ или $(\frac{1}{3})^{\sqrt{2}};

3) $4^{-\sqrt{3}}$ или $4^{-\sqrt{2}};

4) $2^{\sqrt{3}}$ или $2^{1,7};

5) $(\frac{1}{2})^{1,4}$ или $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}};

6) $(\frac{1}{9})^{\pi}$ или $(\frac{1}{9})^{3,14}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сравниваем числа $3^{\sqrt{71}}$ и $3^{\sqrt{69}}$.
Основание степени $a=3$, что больше 1. Показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента (показателя степени) соответствует большее значение функции.
Сравним показатели степеней: $\sqrt{71}$ и $\sqrt{69}$.
Поскольку $71 > 69$, то и $\sqrt{71} > \sqrt{69}$.
Так как функция возрастающая, то из $\sqrt{71} > \sqrt{69}$ следует, что $3^{\sqrt{71}} > 3^{\sqrt{69}}$.
Ответ: $3^{\sqrt{71}}$.

2) Сравниваем числа $(\frac{1}{3})^{\sqrt{3}}$ и $(\frac{1}{3})^{\sqrt{2}}$.
Основание степени $a=\frac{1}{3}$, что находится в интервале $(0, 1)$. Показательная функция $y=(\frac{1}{3})^x$ является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента (показателя степени) соответствует меньшее значение функции.
Сравним показатели степеней: $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$.
Поскольку $3 > 2$, то $\sqrt{3} > \sqrt{2}$.
Так как функция убывающая, то из $\sqrt{3} > \sqrt{2}$ следует, что $(\frac{1}{3})^{\sqrt{3}} < (\frac{1}{3})^{\sqrt{2}}$.
Ответ: $(\frac{1}{3})^{\sqrt{2}}$.

3) Сравниваем числа $4^{-\sqrt{3}}$ и $4^{-\sqrt{2}}$.
Основание степени $a=4$, что больше 1. Показательная функция $y=4^x$ является возрастающей.
Сравним показатели степеней: $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{2}$.
Мы знаем, что $\sqrt{3} > \sqrt{2}$. При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный: $-\sqrt{3} < -\sqrt{2}$.
Так как функция возрастающая, то большему показателю соответствует большее значение: из $-\sqrt{2} > -\sqrt{3}$ следует, что $4^{-\sqrt{2}} > 4^{-\sqrt{3}}$.
Ответ: $4^{-\sqrt{2}}$.

4) Сравниваем числа $2^{\sqrt{3}}$ и $2^{1,7}$.
Основание степени $a=2$, что больше 1. Показательная функция $y=2^x$ является возрастающей.
Сравним показатели степеней: $\sqrt{3}$ и $1,7$.
Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $(1,7)^2 = 2,89$.
Поскольку $3 > 2,89$, то $\sqrt{3} > 1,7$.
Так как функция возрастающая, из $\sqrt{3} > 1,7$ следует, что $2^{\sqrt{3}} > 2^{1,7}$.
Ответ: $2^{\sqrt{3}}$.

5) Сравниваем числа $(\frac{1}{2})^{1,4}$ и $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$.
Основание степени $a=\frac{1}{2}$, что находится в интервале $(0, 1)$. Показательная функция $y=(\frac{1}{2})^x$ является убывающей.
Сравним показатели степеней: $1,4$ и $\sqrt{2}$.
Возведем оба числа в квадрат: $(1,4)^2 = 1,96$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$.
Поскольку $1,96 < 2$, то $1,4 < \sqrt{2}$.
Так как функция убывающая, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Из $1,4 < \sqrt{2}$ следует, что $(\frac{1}{2})^{1,4} > (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^{1,4}$.

6) Сравниваем числа $(\frac{1}{9})^{\pi}$ и $(\frac{1}{9})^{3,14}$.
Основание степени $a=\frac{1}{9}$, что находится в интервале $(0, 1)$. Показательная функция $y=(\frac{1}{9})^x$ является убывающей.
Сравним показатели степеней: $\pi$ и $3,14$.
Число $\pi$ является иррациональным, его приближенное значение $\pi \approx 3,14159...$
Следовательно, $\pi > 3,14$.
Так как функция убывающая, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Из $\pi > 3,14$ следует, что $(\frac{1}{9})^{\pi} < (\frac{1}{9})^{3,14}$.
Ответ: $(\frac{1}{9})^{3,14}$.