Номер 66, страница 32 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 66, страница 32.

Условие.

66 Сократить дробь:

1) $ \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}} $

2) $ \frac{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{m + 2\sqrt{mn} + n} $

3) $ \frac{c - 2c^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{c} - 1} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана дробь $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}}$.

Для сокращения дроби представим числитель и знаменатель в виде степеней с одинаковым основанием показателя. Мы знаем, что $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. Тогда числитель можно записать как $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$.

Заметим, что $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2$ и $b^{\frac{1}{2}} = (b^{\frac{1}{4}})^2$. Таким образом, числитель представляет собой разность квадратов.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a^{\frac{1}{4}}$ и $y=b^{\frac{1}{4}}$:

$a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2 = (a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})$.

Теперь подставим разложенный числитель обратно в исходную дробь:

$\frac{(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})}{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}}$

Сокращаем общий множитель $(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \ne b$, $a \ge 0$, $b \ge 0$).

Ответ: $a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}$

2)

Дана дробь $\frac{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{m + 2\sqrt{mn} + n}$.

Преобразуем знаменатель. Заметим, что $m = (\sqrt{m})^2 = (m^{\frac{1}{2}})^2$ и $n = (\sqrt{n})^2 = (n^{\frac{1}{2}})^2$. Также $2\sqrt{mn} = 2\sqrt{m}\sqrt{n} = 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}}$.

Таким образом, знаменатель представляет собой полный квадрат суммы по формуле $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$, где $x=m^{\frac{1}{2}}$ и $y=n^{\frac{1}{2}}$:

$m + 2\sqrt{mn} + n = (m^{\frac{1}{2}})^2 + 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2 = (m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})^2$.

Подставим преобразованный знаменатель в дробь:

$\frac{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})^2}$

Сокращаем общий множитель $(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $m \ge 0$, $n \ge 0$ и они не равны нулю одновременно).

Ответ: $\frac{1}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}$

3)

Дана дробь $\frac{c - 2c^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{c} - 1}$.

Преобразуем числитель. Заметим, что $c = (\sqrt{c})^2 = (c^{\frac{1}{2}})^2$ и $1=1^2$.

Таким образом, числитель представляет собой полный квадрат разности по формуле $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$, где $x=c^{\frac{1}{2}}$ и $y=1$:

$c - 2c^{\frac{1}{2}} + 1 = (c^{\frac{1}{2}})^2 - 2 \cdot c^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^2 = (c^{\frac{1}{2}} - 1)^2$.

Знаменатель можно записать как $c^{\frac{1}{2}} - 1$. Подставим преобразованный числитель в дробь:

$\frac{(c^{\frac{1}{2}} - 1)^2}{c^{\frac{1}{2}} - 1}$

Сокращаем общий множитель $(c^{\frac{1}{2}} - 1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $c \ge 0$ и $c \ne 1$).

Результат можно записать как $c^{\frac{1}{2}} - 1$ или $\sqrt{c} - 1$.

Ответ: $\sqrt{c} - 1$