Номер 63, страница 31 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 63, страница 31.

Условие.

63 Вынести общий множитель за скобки:

1) $x^{\frac{1}{2}} + x$;

2) $(ab)^{\frac{1}{3}} + (ac)^{\frac{1}{3}};

3) $y^{\frac{3}{4}} - y^{\frac{1}{3}};

4) $12xy^{\frac{1}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}}y$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^{\frac{1}{2}} + x$

Чтобы вынести общий множитель за скобки, нужно найти наибольший общий делитель для каждого члена выражения.

Представим второй член $x$ как $x^1$. Выражение примет вид: $x^{\frac{1}{2}} + x^1$.

Общим множителем для степеней с одинаковым основанием $x$ является степень с наименьшим показателем. В данном случае наименьший показатель — это $\frac{1}{2}$.

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ за скобки. Для этого разделим каждый член исходного выражения на $x^{\frac{1}{2}}$:

$x^{\frac{1}{2}} \div x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = x^0 = 1$

$x^1 \div x^{\frac{1}{2}} = x^{1 - \frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}$

Таким образом, выражение в скобках будет $(1 + x^{\frac{1}{2}})$.

Итоговое выражение: $x^{\frac{1}{2}}(1 + x^{\frac{1}{2}})$.

Ответ: $x^{\frac{1}{2}}(1 + x^{\frac{1}{2}})$

2) $(ab)^{\frac{1}{3}} + (ac)^{\frac{1}{3}}$

Сначала воспользуемся свойством степени $(xy)^n = x^n y^n$, чтобы раскрыть скобки в каждом члене:

$(ab)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$

$(ac)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{3}}$

Выражение примет вид: $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{3}}$.

Теперь видно, что общий множитель — это $a^{\frac{1}{3}}$. Вынесем его за скобки.

Разделим каждый член на $a^{\frac{1}{3}}$:

$(a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}) \div a^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{3}}$

$(a^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{3}}) \div a^{\frac{1}{3}} = c^{\frac{1}{3}}$

Итоговое выражение: $a^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{3}})$.

Ответ: $a^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{3}})$

3) $y^{\frac{3}{4}} - y^{\frac{1}{3}}$

Общим множителем для степеней с одинаковым основанием $y$ является степень с наименьшим показателем.

Сравним показатели степеней $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$

Так как $\frac{4}{12} < \frac{9}{12}$, то наименьший показатель — это $\frac{1}{3}$. Значит, общий множитель — $y^{\frac{1}{3}}$.

Вынесем $y^{\frac{1}{3}}$ за скобки, разделив на него каждый член выражения:

$y^{\frac{3}{4}} \div y^{\frac{1}{3}} = y^{\frac{3}{4} - \frac{1}{3}} = y^{\frac{9}{12} - \frac{4}{12}} = y^{\frac{5}{12}}$

$y^{\frac{1}{3}} \div y^{\frac{1}{3}} = y^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}} = y^0 = 1$

Итоговое выражение: $y^{\frac{1}{3}}(y^{\frac{5}{12}} - 1)$.

Ответ: $y^{\frac{1}{3}}(y^{\frac{5}{12}} - 1)$

4) $12xy^{\frac{1}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}}y$

Найдем общий множитель для каждого компонента выражения: коэффициентов и переменных.

1. Коэффициенты: 12 и 3. Наибольший общий делитель (НОД) для 12 и 3 равен 3.

2. Переменная x: $x^1$ и $x^{\frac{1}{2}}$. Общий множитель — степень с наименьшим показателем, то есть $x^{\frac{1}{2}}$.

3. Переменная y: $y^{\frac{1}{2}}$ и $y^1$. Общий множитель — степень с наименьшим показателем, то есть $y^{\frac{1}{2}}$.

Перемножив эти части, получаем общий множитель всего выражения: $3x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$.

Вынесем его за скобки. Для этого разделим каждый член исходного выражения на $3x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$:

$(12xy^{\frac{1}{2}}) \div (3x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}) = \frac{12}{3} \cdot \frac{x^1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} = 4x^{1-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} = 4x^{\frac{1}{2}}y^0 = 4x^{\frac{1}{2}}$

$(3x^{\frac{1}{2}}y) \div (3x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}) = \frac{3}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^1}{y^{\frac{1}{2}}} = 1x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}y^{1-\frac{1}{2}} = x^0y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}$

Собираем результат: $3x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(4x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$.

Ответ: $3x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(4x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$