Номер 57, страница 31 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 57, страница 31.

Условие.

Вычислить (57–60).

57 1) $64^{\frac{1}{2}}$;

2) $27^{\frac{1}{3}}$;

3) $8^{\frac{2}{3}}$;

4) $81^{\frac{3}{4}}$;

5) $16^{-0.75}$;

6) $9^{-1.5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Степень с дробным показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня. Используем свойство $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$.
$64^{\frac{1}{2}} = \sqrt{64} = 8$, так как $8^2 = 64$.
Ответ: 8.

2) Степень с дробным показателем $\frac{1}{3}$ эквивалентна извлечению кубического корня.
$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
Ответ: 3.

3) Для вычисления выражения $8^{\frac{2}{3}}$ воспользуемся свойством степени $a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m = (\sqrt[n]{a})^m$. Удобнее представить основание 8 в виде степени: $8=2^3$.
Подставим в исходное выражение: $8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}}$.
По свойству $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$ получаем: $2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4.

4) Для вычисления выражения $81^{\frac{3}{4}}$ представим основание 81 в виде степени. Мы знаем, что $81 = 3^4$.
Подставим это в выражение: $81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}}$.
Используя свойство степеней $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$, получаем: $3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$.
Ответ: 27.

5) Для вычисления $16^{-0,75}$ сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $-0,75 = -\frac{75}{100} = -\frac{3}{4}$.
Таким образом, выражение принимает вид $16^{-\frac{3}{4}}$.
Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $16^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{3}{4}}}$.
Теперь вычислим знаменатель. Представим 16 как степень числа 2: $16 = 2^4$.
$16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$.
Подставляем результат в дробь: $\frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

6) Для вычисления $9^{-1,5}$ преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $-1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$.
Выражение принимает вид $9^{-\frac{3}{2}}$.
Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $9^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}}$.
Вычислим знаменатель. Представим 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.
$9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 3^3 = 27$.
Подставляем результат в дробь: $\frac{1}{27}$.
Ответ: $\frac{1}{27}$.