Номер 58, страница 31 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 58, страница 31.

Условие.

58 1) $2^{\frac{4}{5}} \cdot 2^{\frac{11}{5}};

2) $5^{\frac{2}{7}} \cdot 5^{\frac{5}{7}};

3) $9^{\frac{2}{3}} : 9^{\frac{1}{6}};

4) $4^{\frac{1}{3}} : 4^{\frac{5}{6}};

5) $\left(\frac{1}{8^{12}}\right)^{-4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В данном случае $a=2$, $m=\frac{4}{5}$, $n=\frac{11}{5}$.

$2^{\frac{4}{5}} \cdot 2^{\frac{11}{5}} = 2^{\frac{4}{5} + \frac{11}{5}} = 2^{\frac{4+11}{5}} = 2^{\frac{15}{5}} = 2^3$.

Вычислим значение $2^3$:

$2^3 = 8$.

Ответ: $8$.

2) Используем то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием, что и в предыдущем примере: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Здесь $a=5$, $m=\frac{2}{7}$, $n=\frac{5}{7}$.

$5^{\frac{2}{7}} \cdot 5^{\frac{5}{7}} = 5^{\frac{2}{7} + \frac{5}{7}} = 5^{\frac{2+5}{7}} = 5^{\frac{7}{7}} = 5^1$.

Любое число в первой степени равно самому себе.

$5^1 = 5$.

Ответ: $5$.

3) Для решения этого примера воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

В данном случае $a=9$, $m=\frac{2}{3}$, $n=\frac{1}{6}$.

$9^{\frac{2}{3}} : 9^{\frac{1}{6}} = 9^{\frac{2}{3} - \frac{1}{6}}$.

Приведем дроби в показателе степени к общему знаменателю 6:

$\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4-1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, выражение равно $9^{\frac{1}{2}}$. Степень с показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню.

$9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: $3$.

4) Используем то же свойство деления степеней, что и в примере 3: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Здесь $a=4$, $m=\frac{1}{3}$, $n=\frac{5}{6}$.

$4^{\frac{1}{3}} : 4^{\frac{5}{6}} = 4^{\frac{1}{3} - \frac{5}{6}}$.

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} - \frac{5}{6} = \frac{2-5}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$.

Выражение принимает вид $4^{-\frac{1}{2}}$. Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

5) Для решения этого примера воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

В данном случае $a=8$, $m=\frac{1}{12}$, $n=-4$.

$(8^{\frac{1}{12}})^{-4} = 8^{\frac{1}{12} \cdot (-4)} = 8^{-\frac{4}{12}} = 8^{-\frac{1}{3}}$.

Используем свойство степени с отрицательным показателем и определение степени с дробным показателем:

$8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}}$.

Так как $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.

Следовательно, $\frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.