Номер 60, страница 31 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 60, страница 31.

Условие.

60 1) $(\frac{1}{16})^{-0.75} + (\frac{1}{8})^{-\frac{4}{3}}$;

2) $(0.04)^{-1.5} - (0.125)^{-\frac{2}{3}}$;

3) $8^{\frac{9}{7}} : 8^{\frac{2}{7}} - 3^{\frac{6}{5}} \cdot 3^{\frac{4}{5}}$;

4) $(5^{-\frac{2}{5}})^5 + (0.2)^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(\frac{1}{16})^{-0,75} + (\frac{1}{8})^{-\frac{4}{3}}$

Для решения этого примера сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную, а основания степеней представим как степени числа 2.

$-0,75 = -\frac{75}{100} = -\frac{3}{4}$

$\frac{1}{16} = 16^{-1} = (2^4)^{-1} = 2^{-4}$

$\frac{1}{8} = 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$(2^{-4})^{-\frac{3}{4}} + (2^{-3})^{-\frac{4}{3}}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$2^{-4 \cdot (-\frac{3}{4})} + 2^{-3 \cdot (-\frac{4}{3})} = 2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$

Ответ: 24

2) $(0,04)^{-1,5} - (0,125)^{-\frac{2}{3}}$

Сначала преобразуем десятичные дроби в обыкновенные.

$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$

$-1,5 = -\frac{3}{2}$

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

Подставим полученные дроби в выражение:

$(\frac{1}{25})^{-\frac{3}{2}} - (\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}}$

Теперь представим основания в виде степеней и воспользуемся свойством $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(\frac{1}{25})^{-\frac{3}{2}} = (25^{-1})^{-\frac{3}{2}} = ((5^2)^{-1})^{-\frac{3}{2}} = (5^{-2})^{-\frac{3}{2}} = 5^{-2 \cdot (-\frac{3}{2})} = 5^3 = 125$

$(\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} = (8^{-1})^{-\frac{2}{3}} = ((2^3)^{-1})^{-\frac{2}{3}} = (2^{-3})^{-\frac{2}{3}} = 2^{-3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 2^2 = 4$

Выполним вычитание:

$125 - 4 = 121$

Ответ: 121

3) $8^{\frac{9}{7}} : 8^{\frac{2}{7}} - 3^{\frac{6}{5}} \cdot 3^{\frac{4}{5}}$

Для решения используем свойства степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$), а при умножении — складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

Выполним сначала деление:

$8^{\frac{9}{7}} : 8^{\frac{2}{7}} = 8^{\frac{9}{7} - \frac{2}{7}} = 8^{\frac{7}{7}} = 8^1 = 8$

Затем выполним умножение:

$3^{\frac{6}{5}} \cdot 3^{\frac{4}{5}} = 3^{\frac{6}{5} + \frac{4}{5}} = 3^{\frac{10}{5}} = 3^2 = 9$

Теперь выполним вычитание полученных результатов:

$8 - 9 = -1$

Ответ: -1

4) $(5^{-\frac{2}{5}})^{-5} + ((0,2)^{\frac{3}{4}})^{-4}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Для первого слагаемого:

$(5^{-\frac{2}{5}})^{-5} = 5^{(-\frac{2}{5}) \cdot (-5)} = 5^2 = 25$

Для второго слагаемого сначала преобразуем десятичную дробь $0,2$ в обыкновенную, а затем в степень с основанием 5:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

Подставим это в выражение для второго слагаемого:

$((5^{-1})^{\frac{3}{4}})^{-4} = (5^{-1 \cdot \frac{3}{4}})^{-4} = (5^{-\frac{3}{4}})^{-4} = 5^{(-\frac{3}{4}) \cdot (-4)} = 5^3 = 125$

Сложим полученные результаты:

$25 + 125 = 150$

Ответ: 150