Номер 55, страница 31 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 55, страница 31.

Условие.

55 (Устно.) Представить в виде степени с рациональным показателем:

1) $\sqrt{x^3}$;

2) $\sqrt[3]{a^4}$;

3) $\sqrt[4]{b^3}$;

4) $\sqrt[5]{x^{-1}}$;

5) $\sqrt[6]{a}$;

6) $\sqrt[7]{b^{-3}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для преобразования корня в степень с рациональным показателем используется основное свойство: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, где $n$ — это показатель корня, а $m$ — это показатель степени подкоренного выражения.

1) В выражении $\sqrt{x^3}$ показатель корня (для квадратного корня) $n=2$, а показатель степени подкоренного выражения $m=3$. Применяя формулу, получаем: $\sqrt{x^3} = x^{\frac{3}{2}}$.
Ответ: $x^{\frac{3}{2}}$.

2) В выражении $\sqrt[3]{a^4}$ показатель корня $n=3$, а показатель степени подкоренного выражения $m=4$. Следовательно: $\sqrt[3]{a^4} = a^{\frac{4}{3}}$.
Ответ: $a^{\frac{4}{3}}$.

3) В выражении $\sqrt[4]{b^3}$ показатель корня $n=4$, а показатель степени подкоренного выражения $m=3$. Таким образом: $\sqrt[4]{b^3} = b^{\frac{3}{4}}$.
Ответ: $b^{\frac{3}{4}}$.

4) В выражении $\sqrt[5]{x^{-1}}$ показатель корня $n=5$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-1$. По формуле получаем: $\sqrt[5]{x^{-1}} = x^{\frac{-1}{5}} = x^{-\frac{1}{5}}$.
Ответ: $x^{-\frac{1}{5}}$.

5) В выражении $\sqrt[6]{a}$ показатель корня $n=6$, а показатель степени подкоренного выражения (поскольку $a = a^1$) $m=1$. Значит: $\sqrt[6]{a} = a^{\frac{1}{6}}$.
Ответ: $a^{\frac{1}{6}}$.

6) В выражении $\sqrt[7]{b^{-3}}$ показатель корня $n=7$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-3$. Применяя формулу, получаем: $\sqrt[7]{b^{-3}} = b^{\frac{-3}{7}} = b^{-\frac{3}{7}}$.
Ответ: $b^{-\frac{3}{7}}$.