Номер 48, страница 23 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 48, страница 23.

Условие.

Упростить выражение (48–49).

48 1) $\sqrt[3]{2ab} \cdot \sqrt[3]{4a^2b} \cdot \sqrt[3]{27b};$

2) $\sqrt[4]{abc} \cdot \sqrt[4]{a^3b^2c} \cdot \sqrt[4]{b^5c^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{2ab} \cdot \sqrt[3]{4a^2b} \cdot \sqrt[3]{27b}$, воспользуемся свойством произведения корней с одинаковым показателем: $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$. Это позволяет объединить все множители под одним знаком кубического корня:
$\sqrt[3]{(2ab) \cdot (4a^2b) \cdot (27b)}$
Далее, перемножим выражения под корнем, сгруппировав числовые коэффициенты и степени каждой переменной отдельно:
$\sqrt[3]{(2 \cdot 4 \cdot 27) \cdot (a \cdot a^2) \cdot (b \cdot b \cdot b)}$
Выполним вычисления в каждой группе:
Числовые коэффициенты: $2 \cdot 4 \cdot 27 = 8 \cdot 27 = 216$.
Степени переменной $a$: $a \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3$.
Степени переменной $b$: $b \cdot b \cdot b = b^{1+1+1} = b^3$.
Подставим полученные результаты обратно под корень:
$\sqrt[3]{216a^3b^3}$
Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{xyz} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} \cdot \sqrt[n]{z}$ и извлечем кубический корень из каждого множителя:
$\sqrt[3]{216} \cdot \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b^3}$
Вычисляем каждый корень:
$\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{6^3} = 6$
$\sqrt[3]{a^3} = a$
$\sqrt[3]{b^3} = b$
Перемножив полученные значения, мы получим окончательный ответ:
$6 \cdot a \cdot b = 6ab$
Ответ: $6ab$.

2) Упростим выражение $\sqrt[4]{abc} \cdot \sqrt[4]{a^3b^2c} \cdot \sqrt[4]{b^5c^2}$. Так как все корни имеют одинаковый показатель степени (4), мы можем объединить подкоренные выражения под одним знаком корня, используя свойство произведения корней:
$\sqrt[4]{(abc) \cdot (a^3b^2c) \cdot (b^5c^2)}$
Теперь перемножим выражения под знаком корня, складывая показатели степеней для одинаковых оснований:
Для переменной $a$: $a^1 \cdot a^3 = a^{1+3} = a^4$.
Для переменной $b$: $b^1 \cdot b^2 \cdot b^5 = b^{1+2+5} = b^8$.
Для переменной $c$: $c^1 \cdot c^1 \cdot c^2 = c^{1+1+2} = c^4$.
Таким образом, выражение под корнем становится:
$\sqrt[4]{a^4b^8c^4}$
Теперь извлечем корень четвертой степени из каждого множителя. В задачах такого типа обычно предполагается, что все переменные неотрицательны, чтобы избежать необходимости использовать модуль при извлечении корня четной степени.
$\sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b^8} \cdot \sqrt[4]{c^4}$
Вычисляем каждый корень:
$\sqrt[4]{a^4} = a$ (при $a \ge 0$)
$\sqrt[4]{b^8} = \sqrt[4]{(b^2)^4} = b^2$ (результат $b^2$ всегда неотрицателен)
$\sqrt[4]{c^4} = c$ (при $c \ge 0$)
Перемножаем полученные результаты, чтобы найти окончательное упрощенное выражение:
$a \cdot b^2 \cdot c = ab^2c$
Ответ: $ab^2c$.