Номер 46, страница 22 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Вычислить (46—47).

46 1) $\sqrt{9+\sqrt{17}} \cdot \sqrt{9-\sqrt{17}};

2) $(\sqrt{3+\sqrt{5}} - \sqrt{3-\sqrt{5}})^2;

3) $(\sqrt{5+\sqrt{21}} + \sqrt{5-\sqrt{21}})^2$.

1) Для вычисления произведения $\sqrt{9+\sqrt{17}} \cdot \sqrt{9-\sqrt{17}}$ воспользуемся свойством корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

$\sqrt{9+\sqrt{17}} \cdot \sqrt{9-\sqrt{17}} = \sqrt{(9+\sqrt{17})(9-\sqrt{17})}$

Выражение под корнем является разностью квадратов, которую можно вычислить по формуле $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=9$ и $b=\sqrt{17}$.

$(9+\sqrt{17})(9-\sqrt{17}) = 9^2 - (\sqrt{17})^2 = 81 - 17 = 64$

Подставим полученное значение обратно под корень:

$\sqrt{64} = 8$

Ответ: 8

2) Для вычисления выражения $(\sqrt{3+\sqrt{5}} - \sqrt{3-\sqrt{5}})^2$ применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Пусть $a = \sqrt{3+\sqrt{5}}$ и $b = \sqrt{3-\sqrt{5}}$. Тогда:

$a^2 = (\sqrt{3+\sqrt{5}})^2 = 3+\sqrt{5}$

$b^2 = (\sqrt{3-\sqrt{5}})^2 = 3-\sqrt{5}$

Произведение $2ab$ равно:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{3+\sqrt{5}} \cdot \sqrt{3-\sqrt{5}} = 2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$2\sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{9-5} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$

Теперь подставим все значения в исходную формулу:

$(\sqrt{3+\sqrt{5}} - \sqrt{3-\sqrt{5}})^2 = (3+\sqrt{5}) - 4 + (3-\sqrt{5}) = 3+\sqrt{5}-4+3-\sqrt{5} = 6-4=2$

Ответ: 2

3) Для вычисления выражения $(\sqrt{5+\sqrt{21}} + \sqrt{5-\sqrt{21}})^2$ применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = \sqrt{5+\sqrt{21}}$ и $b = \sqrt{5-\sqrt{21}}$. Тогда:

$a^2 = (\sqrt{5+\sqrt{21}})^2 = 5+\sqrt{21}$

$b^2 = (\sqrt{5-\sqrt{21}})^2 = 5-\sqrt{21}$

Произведение $2ab$ равно:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{5+\sqrt{21}} \cdot \sqrt{5-\sqrt{21}} = 2\sqrt{(5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21})}$

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$2\sqrt{5^2 - (\sqrt{21})^2} = 2\sqrt{25-21} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$

Теперь подставим все значения в исходную формулу:

$(\sqrt{5+\sqrt{21}} + \sqrt{5-\sqrt{21}})^2 = (5+\sqrt{21}) + 4 + (5-\sqrt{21}) = 5+\sqrt{21}+4+5-\sqrt{21} = 10+4=14$

Ответ: 14