Номер 49, страница 23 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 49, страница 23.

Условие.

49 1) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}} + (\sqrt{\sqrt[3]{a^4}})^3;$

2) $(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x^2}})^3 + 2(\sqrt[4]{\sqrt{x}})^8;$

3) $\sqrt[3]{\sqrt{x^6 y^{12}}} - (\sqrt[5]{xy^2})^5;$

4) $\left(\left(\sqrt[5]{a}\sqrt[5]{a}\right)^5 - \sqrt[5]{a}\right) : \sqrt[10]{a^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения данного выражения воспользуемся свойствами степеней и корней: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{b}} = \sqrt[nm]{b}$, $\sqrt[n]{b^m} = b^{\frac{m}{n}}$ и $(\sqrt[n]{b})^m = \sqrt[n]{b^m}$.
Исходное выражение: $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}} + (\sqrt{\sqrt[3]{a^4}})^3$.
Упростим первое слагаемое:
$\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}} = \sqrt[3 \cdot 3]{a^{18}} = \sqrt[9]{a^{18}} = a^{\frac{18}{9}} = a^2$.
Упростим второе слагаемое. Сначала преобразуем подкоренное выражение, а затем возведем в степень:
$\sqrt{\sqrt[3]{a^4}} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^4} = \sqrt[6]{a^4}$.
Теперь возведем в куб:
$(\sqrt[6]{a^4})^3 = \sqrt[6]{(a^4)^3} = \sqrt[6]{a^{12}} = a^{\frac{12}{6}} = a^2$.
Сложим полученные результаты:
$a^2 + a^2 = 2a^2$.
Ответ: $2a^2$.

2) Используем те же свойства корней и степеней, что и в первом примере.
Исходное выражение: $(\sqrt{\sqrt[3]{x^2}})^3 + 2(\sqrt[4]{\sqrt{x}})^8$.
Упростим первое слагаемое:
$(\sqrt{\sqrt[3]{x^2}})^3 = (\sqrt[2 \cdot 3]{x^2})^3 = (\sqrt[6]{x^2})^3 = \sqrt[6]{(x^2)^3} = \sqrt[6]{x^6} = x$ (при $x \ge 0$).
Упростим второе слагаемое:
$2(\sqrt[4]{\sqrt{x}})^8 = 2(\sqrt[4 \cdot 2]{x})^8 = 2(\sqrt[8]{x})^8 = 2x$ (при $x \ge 0$).
Сложим полученные результаты:
$x + 2x = 3x$.
Ответ: $3x$.

3) Применим свойства $\sqrt[n]{\sqrt[m]{b}} = \sqrt[nm]{b}$ и $(\sqrt[n]{b})^n = b$.
Исходное выражение: $\sqrt[3]{\sqrt{x^6 y^{12}}} - (\sqrt[5]{xy^2})^5$.
Упростим уменьшаемое (первый член выражения):
$\sqrt[3]{\sqrt{x^6 y^{12}}} = \sqrt[3 \cdot 2]{x^6 y^{12}} = \sqrt[6]{x^6 y^{12}} = \sqrt[6]{(xy^2)^6} = xy^2$ (при $x \ge 0, y \ge 0$).
Упростим вычитаемое (второй член выражения):
$(\sqrt[5]{xy^2})^5 = xy^2$.
Найдем разность:
$xy^2 - xy^2 = 0$.
Ответ: $0$.

4) Сначала упростим выражение в скобках, а затем выполним деление.
Исходное выражение: $\left( \left( \sqrt[5]{a\sqrt[5]{a}} \right)^5 - \sqrt[5]{a} \right) : \sqrt[10]{a^2}$.
Рассмотрим первый член в скобках. Используя свойство $(\sqrt[n]{b})^n = b$, получаем:
$\left( \sqrt[5]{a\sqrt[5]{a}} \right)^5 = a\sqrt[5]{a}$.
Теперь выражение в скобках имеет вид:
$a\sqrt[5]{a} - \sqrt[5]{a}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt[5]{a}$ за скобки:
$\sqrt[5]{a}(a - 1)$.
Теперь упростим делитель:
$\sqrt[10]{a^2} = a^{\frac{2}{10}} = a^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{a}$.
Выполним деление полученных выражений (при условии $a > 0$):
$\frac{\sqrt[5]{a}(a - 1)}{\sqrt[5]{a}} = a - 1$.
Ответ: $a - 1$.