Номер 51, страница 23 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 51, страница 23.

Условие.

51 Упростить:

1) $ \sqrt[3]{(x-2)^3} $ при: а) $ x \ge 2 $; б) $ x < 2 $;

2) $ \sqrt{(3-x)^6} $ при: а) $ x \le 3 $; б) $ x > 3 $;

3) $ \sqrt[4]{(x+6)^4} + \sqrt{(x-3)^2} $, если $ -1 < x < 2 $;

4) $ \sqrt[6]{(2x+1)^6} - \sqrt[4]{(4+x)^4} $, если $ -3 < x < -1 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростить выражение $\sqrt[3]{(x-2)^3}$.

По определению корня нечетной степени, для любого действительного числа $a$ и нечетного натурального числа $n$ выполняется равенство $\sqrt[n]{a^n} = a$.

В данном случае $n=3$ (нечетное), поэтому $\sqrt[3]{(x-2)^3} = x-2$ для любого значения $x$.

а) при $x \ge 2$:

Выражение $\sqrt[3]{(x-2)^3}$ равно $x-2$.
Ответ: $x-2$.

б) при $x < 2$:

Выражение $\sqrt[3]{(x-2)^3}$ равно $x-2$.
Ответ: $x-2$.

2) Упростить выражение $\sqrt{(3-x)^6}$.

Здесь корень четной степени ($n=2$). Для любого действительного числа $a$ и четного натурального числа $n$ выполняется равенство $\sqrt[n]{a^n} = |a|$.

Преобразуем подкоренное выражение: $\sqrt{(3-x)^6} = \sqrt{((3-x)^3)^2}$.

Применяя указанное выше свойство, получаем: $\sqrt{((3-x)^3)^2} = |(3-x)^3|$.

Знак выражения $(3-x)^3$ совпадает со знаком выражения $(3-x)$. Для раскрытия модуля необходимо рассмотреть два случая.

а) при $x \le 3$:

В этом случае разность $3-x \ge 0$. Следовательно, и $(3-x)^3 \ge 0$.
Тогда модуль раскрывается со знаком плюс: $|(3-x)^3| = (3-x)^3$.
Ответ: $(3-x)^3$.

б) при $x > 3$:

В этом случае разность $3-x < 0$. Следовательно, и $(3-x)^3 < 0$.
Тогда модуль раскрывается со знаком минус: $|(3-x)^3| = -(3-x)^3 = (x-3)^3$.
Ответ: $(x-3)^3$.

3) Упростить выражение $\sqrt[4]{(x+6)^4} + \sqrt{(x-3)^2}$, если $-1 < x < 2$.

Оба корня в выражении имеют четный показатель ($n=4$ и $n=2$). Используем свойство $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$.
$\sqrt[4]{(x+6)^4} = |x+6|$
$\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$
Таким образом, исходное выражение равно $|x+6| + |x-3|$.
Теперь раскроем модули с учетом заданного интервала $-1 < x < 2$.
1. Оценим знак выражения $x+6$. Из неравенства $-1 < x$ следует, что $x+6 > -1+6$, то есть $x+6 > 5$. Значит, выражение $x+6$ положительно. Поэтому, $|x+6| = x+6$.
2. Оценим знак выражения $x-3$. Из неравенства $x < 2$ следует, что $x-3 < 2-3$, то есть $x-3 < -1$. Значит, выражение $x-3$ отрицательно. Поэтому, $|x-3| = -(x-3) = -x+3$.
Подставим раскрытые модули в выражение:
$|x+6| + |x-3| = (x+6) + (-x+3) = x + 6 - x + 3 = 9$.
Ответ: $9$.

4) Упростить выражение $\sqrt[6]{(2x+1)^6} - \sqrt[4]{(4+x)^4}$, если $-3 < x < -1$.

Оба корня в выражении имеют четный показатель ($n=6$ и $n=4$). Применяем свойство $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$.
$\sqrt[6]{(2x+1)^6} = |2x+1|$
$\sqrt[4]{(4+x)^4} = |4+x|$
Исходное выражение принимает вид: $|2x+1| - |4+x|$.
Раскроем модули с учетом условия $-3 < x < -1$.
1. Оценим знак выражения $2x+1$. Умножим двойное неравенство на 2: $-6 < 2x < -2$. Прибавим 1 ко всем частям: $-5 < 2x+1 < -1$. Выражение $2x+1$ отрицательно. Следовательно, $|2x+1| = -(2x+1) = -2x-1$.
2. Оценим знак выражения $4+x$. Прибавим 4 ко всем частям исходного неравенства: $-3+4 < x+4 < -1+4$, что дает $1 < x+4 < 3$. Выражение $4+x$ положительно. Следовательно, $|4+x| = 4+x$.
Подставим раскрытые модули в выражение:
$|2x+1| - |4+x| = (-2x-1) - (4+x) = -2x - 1 - 4 - x = -3x - 5$.
Ответ: $-3x - 5$.