Номер 50, страница 23 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 50, страница 23.

Условие.

50 Вычислить:

1) $\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}}$

2) $\frac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}}$

3) $(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}}$

Для решения представим все корни в виде степеней с рациональными показателями. Учтем, что $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ и $9 = 3^2$.

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[6]{3} = 3^{\frac{1}{6}}$

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{1}{6}}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а при делении — вычитаются. Получаем:

$3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}}$

Приведем показатели к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3+4-1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Таким образом, выражение равно $3^1 = 3$.

Ответ: 3

2) $\frac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}}$

Представим все числа под корнями как степени числа 7. Мы знаем, что $343 = 7^3$.

Теперь перепишем выражение, используя степени:

$\frac{\sqrt[3]{7^1} \cdot \sqrt[4]{7^3}}{\sqrt[12]{7^1}}$

Перейдем от корней к степеням с рациональными показателями:

$\frac{7^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{4}}}{7^{\frac{1}{12}}}$

Используем свойства степеней (сложение показателей при умножении и вычитание при делении):

$7^{\frac{1}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{12}}$

Приведем показатели к общему знаменателю 12:

$\frac{1}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} + \frac{9}{12} - \frac{1}{12} = \frac{4+9-1}{12} = \frac{12}{12} = 1$

Следовательно, результат равен $7^1 = 7$.

Ответ: 7

3) $(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})$

Это выражение соответствует формуле разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.

Обозначим $a = \sqrt[3]{3}$ и $b = \sqrt[3]{2}$.

Тогда вторая скобка $(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})$ будет равна $(a-b)$.

Проверим первую скобку:

$a^2 = (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$

$ab = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{3 \cdot 2} = \sqrt[3]{6}$

$b^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$

Таким образом, первая скобка $(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})$ равна $(a^2+ab+b^2)$.

Следовательно, все выражение можно свернуть по формуле разности кубов:

$(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}) = a^3 - b^3 = (\sqrt[3]{3})^3 - (\sqrt[3]{2})^3$

Вычисляем результат:

$3 - 2 = 1$

Ответ: 1