Номер 43, страница 22 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 43, страница 22.

Условие.

43 1) $\sqrt{\sqrt[3]{729}};$

2) $\sqrt[5]{\sqrt{1024}};$

3) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} \cdot \sqrt[9]{3^7};$

4) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{25}} \cdot \sqrt[6]{5^5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $ \sqrt{\sqrt[3]{729}} $

Для решения данного примера можно вычислять корни последовательно, начиная с внутреннего.

Сначала вычислим внутренний корень: $ \sqrt[3]{729} $.
Нам нужно найти число, которое при возведении в третью степень даст 729. Мы знаем, что $ 9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 9 = 729 $.
Следовательно, $ \sqrt[3]{729} = 9 $.

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение: $ \sqrt{9} $.
Квадратный корень из 9 равен 3.
$ \sqrt{9} = 3 $.

Альтернативный способ — использовать свойство вложенных корней $ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} $. $ \sqrt{\sqrt[3]{729}} = \sqrt[2 \cdot 3]{729} = \sqrt[6]{729} $.
Так как $ 3^6 = 729 $, то $ \sqrt[6]{729} = 3 $.

Ответ: 3

2) $ \sqrt[5]{\sqrt{1024}} $

Решим этот пример, также вычисляя корни последовательно изнутри.

Сначала вычислим внутренний корень: $ \sqrt{1024} $.
Число 1024 является степенью числа 2: $ 2^{10} = 1024 $. Также можно заметить, что $ 32^2 = 1024 $.
Следовательно, $ \sqrt{1024} = 32 $.

Подставим результат в выражение: $ \sqrt[5]{32} $.
Известно, что $ 2^5 = 32 $.
Таким образом, $ \sqrt[5]{32} = 2 $.

Используя свойство вложенных корней: $ \sqrt[5]{\sqrt{1024}} = \sqrt[5 \cdot 2]{1024} = \sqrt[10]{1024} = \sqrt[10]{2^{10}} = 2 $.

Ответ: 2

3) $ \sqrt[3]{\sqrt{9} \cdot \sqrt[9]{3^7}} $

Начнем с упрощения выражения под кубическим корнем.

Сначала вычислим $ \sqrt{9} $:
$ \sqrt{9} = 3 $.

Теперь выражение имеет вид: $ \sqrt[3]{3 \cdot \sqrt[9]{3^7}} $.
Чтобы перемножить множители, представим их в виде степеней с основанием 3. Используем свойство $ \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} $.
$ 3 \cdot \sqrt[9]{3^7} = 3^1 \cdot 3^{7/9} $.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $.
$ 3^1 \cdot 3^{7/9} = 3^{1 + 7/9} = 3^{9/9 + 7/9} = 3^{16/9} $.

Теперь извлечем кубический корень из полученного результата, используя свойство $ \sqrt[n]{a^m} = (a^m)^{1/n} = a^{m/n} $:
$ \sqrt[3]{3^{16/9}} = (3^{16/9})^{1/3} $.

При возведении степени в степень показатели перемножаются: $ (a^m)^n = a^{mn} $.
$ (3^{16/9})^{1/3} = 3^{\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{\frac{16}{27}} $.

Ответ: $3^{\frac{16}{27}}$

4) $ \sqrt[4]{\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[6]{5^5}} $

Упростим выражение, находящееся под корнем четвертой степени: $ \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[6]{5^5} $.

Представим 25 как степень числа 5: $ 25 = 5^2 $. Выражение примет вид:
$ \sqrt[3]{5^2} \cdot \sqrt[6]{5^5} $.

Чтобы перемножить корни, приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 3 и 6 равно 6.
Приведем первый корень к показателю 6, используя свойство $ \sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k} $:
$ \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3 \cdot 2]{(5^2)^2} = \sqrt[6]{5^4} $.

Теперь перемножим корни с одинаковым показателем, используя свойство $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} $:
$ \sqrt[6]{5^4} \cdot \sqrt[6]{5^5} = \sqrt[6]{5^4 \cdot 5^5} = \sqrt[6]{5^{4+5}} = \sqrt[6]{5^9} $.

Подставим полученный результат в исходное выражение:
$ \sqrt[4]{\sqrt[6]{5^9}} $.

Используем свойство вложенных корней $ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} $:
$ \sqrt[4 \cdot 6]{5^9} = \sqrt[24]{5^9} $.

Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, который равен 3:
$ \sqrt[24/3]{5^{9/3}} = \sqrt[8]{5^3} $.

Вычислим $ 5^3 = 125 $.
Итоговый результат: $ \sqrt[8]{125} $.

Ответ: $\sqrt[8]{125}$