Номер 39, страница 22 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 39, страница 22.

Условие.

Вычислить (39—40).

39 1) $\sqrt[3]{\frac{64}{125}};

2) $\sqrt[4]{\frac{16}{81}};

3) $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}};

4) $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления корня из дроби используется свойство $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$. Применим его к данному выражению:

$\sqrt[3]{\frac{64}{125}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}}$

Теперь найдем кубический корень из числителя и знаменателя. Известно, что $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ и $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Следовательно:

$\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

2) Аналогично первому пункту, применим свойство корня из дроби:

$\sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}}$

Найдем корень четвертой степени из числителя и знаменателя. Известно, что $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ и $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

Следовательно:

$\frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

3) Сначала необходимо преобразовать смешанное число под корнем в неправильную дробь.

$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{24+3}{8} = \frac{27}{8}$

Теперь можно извлечь корень из полученной дроби:

$\sqrt[3]{3\frac{3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

Так как $3^3 = 27$ и $2^3 = 8$, получаем:

$\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

4) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$7\frac{19}{32} = \frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = \frac{224+19}{32} = \frac{243}{32}$

Теперь вычислим корень пятой степени из этой дроби:

$\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} = \sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}}$

Так как $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$ и $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$, получаем:

$\frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$