Номер 40, страница 22 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 40, страница 22.

Условие.

40 1) $\sqrt[4]{324} : \sqrt[4]{4};$

2) $\sqrt[3]{128} : \sqrt[3]{2000};$

3) $\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}};$

4) $\frac{\sqrt[5]{256}}{\sqrt[5]{8}};$

5) $(\sqrt{25} - \sqrt{45}) : \sqrt{5};$

6) $(\sqrt[3]{625} - \sqrt[3]{5}) : \sqrt[3]{5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения данного примера воспользуемся свойством частного корней одинаковой степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

$\sqrt[4]{324} : \sqrt[4]{4} = \frac{\sqrt[4]{324}}{\sqrt[4]{4}} = \sqrt[4]{\frac{324}{4}}$

Выполним деление под корнем:

$\frac{324}{4} = 81$

Теперь необходимо извлечь корень четвертой степени из 81:

$\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$

Ответ: 3

2) Применим свойство частного корней одинаковой степени $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

$\sqrt[3]{128} : \sqrt[3]{2000} = \frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2000}} = \sqrt[3]{\frac{128}{2000}}$

Сократим подкоренное выражение:

$\frac{128}{2000} = \frac{128:8}{2000:8} = \frac{16}{250} = \frac{16:2}{250:2} = \frac{8}{125}$

Теперь извлечем корень из полученной дроби:

$\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{\sqrt[3]{2^3}}{\sqrt[3]{5^3}} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

3) Используем свойство частного корней одинаковой степени $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

$\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{16}{2}} = \sqrt[3]{8}$

Так как $2^3 = 8$, получаем:

$\sqrt[3]{8} = 2$

Ответ: 2

4) Воспользуемся свойством частного корней одинаковой степени $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

$\frac{\sqrt[5]{256}}{\sqrt[5]{8}} = \sqrt[5]{\frac{256}{8}}$

Выполним деление под знаком корня:

$\frac{256}{8} = 32$

Теперь извлечем корень пятой степени из 32:

$\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$

Ответ: 2

5) Для решения этого примера воспользуемся свойством дистрибутивности деления относительно вычитания. Разделим каждый член в скобках на $\sqrt{5}$:

$(\sqrt{25} - \sqrt{45}) : \sqrt{5} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}$

Теперь применим свойство частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ для каждого слагаемого:

$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{25}{5}} = \sqrt{5}$

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{45}{5}} = \sqrt{9} = 3$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$\sqrt{5} - 3$

Ответ: $\sqrt{5} - 3$

6) Используем свойство дистрибутивности деления относительно вычитания. Разделим каждый член в скобках на $\sqrt[3]{5}$:

$(\sqrt[3]{625} - \sqrt[3]{5}) : \sqrt[3]{5} = \frac{\sqrt[3]{625}}{\sqrt[3]{5}} - \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}}$

Применим свойство частного корней одинаковой степени $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ к первому члену:

$\frac{\sqrt[3]{625}}{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{\frac{625}{5}} = \sqrt[3]{125}$

Так как $5^3 = 125$, то $\sqrt[3]{125} = 5$.

Второй член выражения равен 1, так как $\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}} = 1$.

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$5 - 1 = 4$

Ответ: 4