Номер 36, страница 21 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 4. Арифметический корень натуральной степени. Глава 1. Действительные числа - номер 36, страница 21.

36 1) $\sqrt[5]{3^{10} \cdot 2^{15}};$

2) $\sqrt[3]{2^{3} \cdot 5^{6}};$

3) $\sqrt[4]{3^{12} \left(\frac{1}{3}\right)^{8}};$

4) $\sqrt[10]{4^{30} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{20}}.$

1) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt[5]{3^{10} \cdot 2^{15}}$, воспользуемся свойством корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[5]{3^{10} \cdot 2^{15}} = \sqrt[5]{3^{10}} \cdot \sqrt[5]{2^{15}}$

Далее применим свойство извлечения корня из степени: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. Для этого нужно показатель степени подкоренного выражения разделить на показатель корня.

$\sqrt[5]{3^{10}} = 3^{\frac{10}{5}} = 3^2 = 9$

$\sqrt[5]{2^{15}} = 2^{\frac{15}{5}} = 2^3 = 8$

Теперь перемножим полученные результаты:

$9 \cdot 8 = 72$

Ответ: 72

2) Для вычисления выражения $\sqrt[3]{2^3 \cdot 5^6}$ используем те же свойства, что и в первом пункте.

Разделим корень из произведения на произведение корней:

$\sqrt[3]{2^3 \cdot 5^6} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{5^6}$

Извлечем корень из каждой степени:

$\sqrt[3]{2^3} = 2^{\frac{3}{3}} = 2^1 = 2$

$\sqrt[3]{5^6} = 5^{\frac{6}{3}} = 5^2 = 25$

Найдем произведение результатов:

$2 \cdot 25 = 50$

Ответ: 50

3) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{3^{12} \cdot (\frac{1}{3})^8}$. Сначала упростим выражение под корнем. Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $(\frac{1}{a})^n = a^{-n}$.

$(\frac{1}{3})^8 = 3^{-8}$

Теперь подкоренное выражение выглядит так: $3^{12} \cdot 3^{-8}$. Применим свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{12} \cdot 3^{-8} = 3^{12-8} = 3^4$

Подставим упрощенное выражение обратно под корень:

$\sqrt[4]{3^4}$

Извлечем корень:

$3^{\frac{4}{4}} = 3^1 = 3$

Ответ: 3

4) Рассмотрим выражение $\sqrt[10]{4^{30} \cdot (\frac{1}{2})^{20}}$. Начнем с упрощения подкоренного выражения. Представим число 4 как степень двойки: $4 = 2^2$.

$4^{30} = (2^2)^{30} = 2^{2 \cdot 30} = 2^{60}$

Теперь представим дробь $(\frac{1}{2})^{20}$ как степень с отрицательным показателем:

$(\frac{1}{2})^{20} = 2^{-20}$

Выражение под корнем принимает вид: $2^{60} \cdot 2^{-20}$. Применим свойство умножения степеней:

$2^{60} \cdot 2^{-20} = 2^{60-20} = 2^{40}$

Теперь извлечем корень десятой степени из полученного результата:

$\sqrt[10]{2^{40}} = 2^{\frac{40}{10}} = 2^4 = 16$

Ответ: 16