Номер 42, страница 22 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 42, страница 22.

Условие.

Вычислить (42–43).

42 1) $(\sqrt[6]{7^3})^2$;

2) $(\sqrt[6]{9})^{-3}$;

3) $(\sqrt[10]{32})^2$;

4) $(\sqrt[8]{16})^{-4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления выражения $(\sqrt[6]{7^3})^2$ воспользуемся свойством степеней и корней. Сначала представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

В нашем случае $\sqrt[6]{7^3} = 7^{\frac{3}{6}} = 7^{\frac{1}{2}}$.

Теперь возведем полученное выражение в квадрат. Используем свойство степени $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$:

$(7^{\frac{1}{2}})^2 = 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^1 = 7$.

Ответ: 7

2) Для вычисления выражения $(\sqrt[6]{9})^{-3}$ сначала упростим подкоренное выражение. Так как $9 = 3^2$, то выражение можно переписать в виде $(\sqrt[6]{3^2})^{-3}$.

Представим корень в виде степени: $\sqrt[6]{3^2} = 3^{\frac{2}{6}} = 3^{\frac{1}{3}}$.

Теперь возведем полученное выражение в степень -3:

$(3^{\frac{1}{3}})^{-3} = 3^{\frac{1}{3} \cdot (-3)} = 3^{-1}$.

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

3) Для вычисления выражения $(\sqrt[10]{32})^2$ представим число 32 в виде степени. Так как $32 = 2^5$, то выражение принимает вид $(\sqrt[10]{2^5})^2$.

Перейдем от корня к степени с дробным показателем:

$\sqrt[10]{2^5} = 2^{\frac{5}{10}} = 2^{\frac{1}{2}}$.

Теперь возведем в квадрат:

$(2^{\frac{1}{2}})^2 = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2

4) Для вычисления выражения $(\sqrt[8]{16})^{-4}$ представим число 16 в виде степени. Так как $16 = 2^4$, то выражение можно записать как $(\sqrt[8]{2^4})^{-4}$.

Представим корень в виде степени:

$\sqrt[8]{2^4} = 2^{\frac{4}{8}} = 2^{\frac{1}{2}}$.

Теперь возведем в степень -4:

$(2^{\frac{1}{2}})^{-4} = 2^{\frac{1}{2} \cdot (-4)} = 2^{-2}$.

Используя определение степени с отрицательным показателем, получаем:

$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$