Номер 52, страница 23 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

52 Сравнить значения выражений:

1) $\sqrt{3} + \sqrt[3]{30}$ и $\sqrt[3]{63}$;

2) $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15}$ и $\sqrt{10} + \sqrt[3]{28}$.

1) Сравнить $\sqrt{3} + \sqrt[3]{30}$ и $\sqrt[3]{63}$.
Для решения этой задачи оценим значения каждого из выражений.
Оценим первое выражение: $\sqrt{3} + \sqrt[3]{30}$.
Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, следовательно $1 < \sqrt{3} < 2$. В частности, $\sqrt{3} > 1$.
Также мы знаем, что $3^3 = 27$ и $4^3 = 64$, следовательно $3 < \sqrt[3]{30} < 4$. В частности, $\sqrt[3]{30} > 3$.
Складывая эти два неравенства, получаем:
$\sqrt{3} + \sqrt[3]{30} > 1 + 3 = 4$.
Теперь оценим второе выражение: $\sqrt[3]{63}$.
Мы знаем, что $3^3 = 27$ и $4^3 = 64$, следовательно $3 < \sqrt[3]{63} < 4$. В частности, $\sqrt[3]{63} < \sqrt[3]{64} = 4$.
Итак, мы получили, что первое выражение строго больше 4, а второе строго меньше 4.
$\sqrt{3} + \sqrt[3]{30} > 4$ и $\sqrt[3]{63} < 4$.
Из этого следует, что $\sqrt{3} + \sqrt[3]{30} > \sqrt[3]{63}$.
Ответ: $\sqrt{3} + \sqrt[3]{30} > \sqrt[3]{63}$.

2) Сравнить $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15}$ и $\sqrt{10} + \sqrt[3]{28}$.
Для сравнения этих двух иррациональных выражений, сравним каждое из них с числом 6.
Сравнение 1: Сравним $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15}$ с 6.
$\sqrt[3]{7} + \sqrt{15} \vee 6$
$\sqrt[3]{7} \vee 6 - \sqrt{15}$
Так как $\sqrt{15} < \sqrt{36} = 6$, обе части неравенства положительны. Можем возвести обе части в куб:
$(\sqrt[3]{7})^3 \vee (6 - \sqrt{15})^3$
$7 \vee 6^3 - 3 \cdot 6^2 \cdot \sqrt{15} + 3 \cdot 6 \cdot (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{15})^3$
$7 \vee 216 - 108\sqrt{15} + 18 \cdot 15 - 15\sqrt{15}$
$7 \vee 216 - 108\sqrt{15} + 270 - 15\sqrt{15}$
$7 \vee 486 - 123\sqrt{15}$
$123\sqrt{15} \vee 486 - 7$
$123\sqrt{15} \vee 479$
$\sqrt{15} \vee \frac{479}{123}$
Возведем обе части в квадрат:
$15 \vee (\frac{479}{123})^2 = \frac{229441}{15129}$
$15 \cdot 15129 \vee 229441$
$226935 \vee 229441$
Так как $226935 < 229441$, то все знаки сравнения были 'меньше'. Проследив цепочку неравенств в обратном порядке, получаем:
$\sqrt{15} < \frac{479}{123} \implies 123\sqrt{15} < 479 \implies 486 - 123\sqrt{15} > 7 \implies (6 - \sqrt{15})^3 > 7 \implies 6 - \sqrt{15} > \sqrt[3]{7} \implies 6 > \sqrt[3]{7} + \sqrt{15}$.
Итак, мы доказали, что $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15} < 6$.

Сравнение 2: Сравним $\sqrt{10} + \sqrt[3]{28}$ с 6.
$\sqrt{10} + \sqrt[3]{28} \vee 6$
$\sqrt[3]{28} \vee 6 - \sqrt{10}$
Так как $\sqrt{10} < \sqrt{36} = 6$, обе части неравенства положительны. Можем возвести обе части в куб:
$(\sqrt[3]{28})^3 \vee (6 - \sqrt{10})^3$
$28 \vee 6^3 - 3 \cdot 6^2 \cdot \sqrt{10} + 3 \cdot 6 \cdot (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{10})^3$
$28 \vee 216 - 108\sqrt{10} + 18 \cdot 10 - 10\sqrt{10}$
$28 \vee 216 - 108\sqrt{10} + 180 - 10\sqrt{10}$
$28 \vee 396 - 118\sqrt{10}$
$118\sqrt{10} \vee 396 - 28$
$118\sqrt{10} \vee 368$
$59\sqrt{10} \vee 184$
$\sqrt{10} \vee \frac{184}{59}$
Возведем обе части в квадрат:
$10 \vee (\frac{184}{59})^2 = \frac{33856}{3481}$
$10 \cdot 3481 \vee 33856$
$34810 \vee 33856$
Так как $34810 > 33856$, то все знаки сравнения были 'больше'. Проследив цепочку неравенств в обратном порядке, получаем:
$\sqrt{10} > \frac{184}{59} \implies 59\sqrt{10} > 184 \implies 118\sqrt{10} > 368 \implies 396 - 118\sqrt{10} < 28 \implies (6 - \sqrt{10})^3 < 28 \implies 6 - \sqrt{10} < \sqrt[3]{28} \implies 6 < \sqrt{10} + \sqrt[3]{28}$.
Итак, мы доказали, что $\sqrt{10} + \sqrt[3]{28} > 6$.

Вывод:
Мы получили два неравенства:$\sqrt[3]{7} + \sqrt{15} < 6$ и $\sqrt{10} + \sqrt[3]{28} > 6$.Из этого следует, что $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15} < \sqrt{10} + \sqrt[3]{28}$.
Ответ: $\sqrt[3]{7} + \sqrt{15} < \sqrt{10} + \sqrt[3]{28}$.