Номер 59, страница 31 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 59, страница 31.

Условие.

59 1) $9^{\frac{2}{5}} \cdot 27^{\frac{2}{5}}$;

2) $7^{\frac{2}{3}} \cdot 49^{\frac{2}{3}}$;

3) $144^{\frac{3}{4}} : 9^{\frac{3}{4}}$;

4) $150^{\frac{3}{2}} : 6^{\frac{3}{2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления значения выражения $9^{\frac{2}{5}} \cdot 27^{\frac{2}{5}}$ воспользуемся свойством степени $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$, так как показатели степеней одинаковы.
$9^{\frac{2}{5}} \cdot 27^{\frac{2}{5}} = (9 \cdot 27)^{\frac{2}{5}}$.
Вычислим произведение в скобках: $9 \cdot 27 = 243$.
Таким образом, выражение преобразуется к виду $243^{\frac{2}{5}}$.
Степень с дробным показателем $x^{\frac{m}{n}}$ можно представить в виде корня: $x^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{x})^m$.
$243^{\frac{2}{5}} = (\sqrt[5]{243})^2$.
Найдем корень пятой степени из 243. Известно, что $3^5 = 243$, следовательно, $\sqrt[5]{243} = 3$.
Подставим это значение обратно в выражение: $3^2 = 9$.
Ответ: 9

2) Для вычисления выражения $7^{\frac{2}{3}} \cdot 49^{\frac{2}{3}}$ используем то же свойство, что и в первом примере: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$7^{\frac{2}{3}} \cdot 49^{\frac{2}{3}} = (7 \cdot 49)^{\frac{2}{3}}$.
Вычислим произведение в скобках, представив $49$ как $7^2$: $7 \cdot 49 = 7 \cdot 7^2 = 7^3$.
Получаем выражение $(7^3)^{\frac{2}{3}}$.
Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(7^3)^{\frac{2}{3}} = 7^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 7^2 = 49$.
Ответ: 49

3) Для вычисления частного $144^{\frac{3}{4}} : 9^{\frac{3}{4}}$ воспользуемся свойством частного степеней с одинаковыми показателями: $a^n : b^n = (a : b)^n$.
$144^{\frac{3}{4}} : 9^{\frac{3}{4}} = (144 : 9)^{\frac{3}{4}}$.
Вычислим частное в скобках: $144 : 9 = 16$.
Получаем выражение $16^{\frac{3}{4}}$.
Представим его в виде корня: $16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3$.
Найдем корень четвертой степени из 16. Так как $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.
Подставим найденное значение: $2^3 = 8$.
Ответ: 8

4) Для вычисления частного $150^{\frac{3}{2}} : 6^{\frac{3}{2}}$ воспользуемся свойством $a^n : b^n = (a : b)^n$.
$150^{\frac{3}{2}} : 6^{\frac{3}{2}} = (150 : 6)^{\frac{3}{2}}$.
Вычислим частное в скобках: $150 : 6 = 25$.
Получаем выражение $25^{\frac{3}{2}}$.
Представим его в виде корня. Показатель $3/2$ означает квадратный корень, возведенный в третью степень: $25^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{25})^3$.
Квадратный корень из 25 равен 5: $\sqrt{25} = 5$.
Подставим это значение и возведем в куб: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Ответ: 125