Номер 65, страница 32 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 65, страница 32.

Условие.

65 Разложить на множители, используя тождество $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ или $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

1) $a - x$;

2) $x^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{3}{2}}$;

3) $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$;

4) $27a + c^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы разложить на множители выражение $a-x$, применим формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$.

Для этого представим каждый член выражения в виде куба некоторого другого выражения. Используя свойства степеней, имеем: $a = (a^{\frac{1}{3}})^3$ и $x = (x^{\frac{1}{3}})^3$.

Теперь в качестве $A$ мы можем взять $a^{\frac{1}{3}}$, а в качестве $B$ — $x^{\frac{1}{3}}$. Подставим эти значения в формулу разности кубов:

$a - x = (a^{\frac{1}{3}})^3 - (x^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})((a^{\frac{1}{3}})^2 + a^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + (x^{\frac{1}{3}})^2)$.

Упростим выражение во второй скобке:

$(a^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}})$.

Ответ: $(a^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}})$.

2) Разложим на множители выражение $x^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{3}{2}}$, используя формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба: $x^{\frac{3}{2}} = (x^{\frac{1}{2}})^3$ и $y^{\frac{3}{2}} = (y^{\frac{1}{2}})^3$.

В данном случае $A = x^{\frac{1}{2}}$ и $B = y^{\frac{1}{2}}$.

Подставим эти значения в формулу:

$x^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{3}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})((x^{\frac{1}{2}})^2 + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + (y^{\frac{1}{2}})^2)$.

Упростим вторую скобку:

$(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y)$.

Ответ: $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y)$.

3) Для разложения выражения $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$ на множители воспользуемся формулой разности кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба. Так как $(\frac{1}{6}) \cdot 3 = \frac{1}{2}$, то $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{6}})^3$ и $b^{\frac{1}{2}} = (b^{\frac{1}{6}})^3$.

Здесь $A = a^{\frac{1}{6}}$ и $B = b^{\frac{1}{6}}$.

Подставим значения в формулу:

$a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})((a^{\frac{1}{6}})^2 + a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}} + (b^{\frac{1}{6}})^2)$.

Упростим выражение во второй скобке:

$(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{2}{6}} + a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{2}{6}}) = (a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}})$.

Ответ: $(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}})$.

4) Разложим на множители выражение $27a + c^{\frac{1}{2}}$, используя формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба: $27a = 3^3 \cdot a = (3a^{\frac{1}{3}})^3$ и $c^{\frac{1}{2}} = (c^{\frac{1}{6}})^3$.

В данном случае $A = 3a^{\frac{1}{3}}$ и $B = c^{\frac{1}{6}}$.

Подставим эти значения в формулу суммы кубов:

$27a + c^{\frac{1}{2}} = (3a^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{6}})((3a^{\frac{1}{3}})^2 - (3a^{\frac{1}{3}})(c^{\frac{1}{6}}) + (c^{\frac{1}{6}})^2)$.

Упростим выражение во второй скобке:

$(3a^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{6}})(9a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{6}} + c^{\frac{2}{6}}) = (3a^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{6}})(9a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{6}} + c^{\frac{1}{3}})$.

Ответ: $(3a^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{6}})(9a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{6}} + c^{\frac{1}{3}})$.