Номер 68, страница 32 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 68, страница 32.

Условие.

68 Вычислить:

1) $2^{\sqrt{5}} \cdot 2^{-\sqrt{5}}$; 2) $3^{2\sqrt{2}} : 9^{\sqrt{2}}$; 3) $(5^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$; 4) $((0,5)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{8}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления произведения $2^{\sqrt{5}} \cdot 2^{-\sqrt{5}}$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
В данном случае основание $a=2$, а показатели степеней $m = \sqrt{5}$ и $n = -\sqrt{5}$.
Сложим показатели степеней: $\sqrt{5} + (-\sqrt{5}) = \sqrt{5} - \sqrt{5} = 0$.
Таким образом, выражение преобразуется к виду $2^0$.
Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице.
$2^{\sqrt{5}} \cdot 2^{-\sqrt{5}} = 2^{\sqrt{5}-\sqrt{5}} = 2^0 = 1$.
Ответ: 1

2) В выражении $3^{2\sqrt{2}} : 9^{\sqrt{2}}$ необходимо привести степени к одному основанию. Заметим, что $9 = 3^2$.
Заменим основание 9 на $3^2$: $9^{\sqrt{2}} = (3^2)^{\sqrt{2}}$.
Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:$(3^2)^{\sqrt{2}} = 3^{2 \cdot \sqrt{2}} = 3^{2\sqrt{2}}$.
Исходное выражение принимает вид: $3^{2\sqrt{2}} : 3^{2\sqrt{2}}$.
Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$3^{2\sqrt{2}} : 3^{2\sqrt{2}} = 3^{2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}} = 3^0 = 1$.
Ответ: 1

3) Для вычисления $(5^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$ применяется свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
В этом выражении основание $a=5$, а показатели $m = \sqrt{3}$ и $n = \sqrt{3}$.
Перемножим показатели: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3$.
Следовательно, выражение равно $5^3$.
Вычислим значение: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Ответ: 125

4) Для вычисления выражения $((0,5)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{8}}$ воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Показатели степеней нужно перемножить: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$.
Используем свойство произведения корней $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}$:
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$.
Теперь исходное выражение имеет вид $(0,5)^4$.
Для удобства вычислений представим десятичную дробь 0,5 в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$.
Возведем дробь в четвертую степень:
$(\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$