Номер 62, страница 31 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 62, страница 31.

Условие.

62 Представить в виде степени с рациональным показателем:

1) $a^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{a}$;

2) $b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{b}$;

3) $\sqrt[3]{b} : b^{\frac{1}{6}};

4) $a^{\frac{4}{3}} : \sqrt[3]{a};

5) $x^{1,7} \cdot x^{2,8} : \sqrt{x^5};

6) $y^{-3,8} : y^{-2,3} \cdot \sqrt[3]{y}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы представить выражение $a^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{a}$ в виде степени с рациональным показателем, сначала представим корень в виде степени. Квадратный корень из $a$ равен $a$ в степени $\frac{1}{2}$, то есть $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$. Теперь умножим степени с одинаковым основанием, для этого нужно сложить их показатели:
$a^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{a} = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}$
Сложим показатели: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$.
Таким образом, получаем $a^{\frac{5}{6}}$.
Ответ: $a^{\frac{5}{6}}$

2) Рассмотрим выражение $b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{b}$. Сначала представим корень $\sqrt[6]{b}$ в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[6]{b} = b^{\frac{1}{6}}$. Теперь у нас есть произведение трех степеней с одинаковым основанием. Чтобы их перемножить, нужно сложить показатели:
$b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}$
Приведем дроби к общему знаменателю и сложим: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
В результате получаем $b^1$ или просто $b$.
Ответ: $b$

3) В выражении $\sqrt[3]{b} : b^{\frac{1}{6}}$ представим кубический корень из $b$ в виде степени: $\sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$. Теперь нужно разделить степени с одинаковым основанием. Для этого вычитаем показатель делителя из показателя делимого:
$b^{\frac{1}{3}} : b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}}$
Вычислим разность показателей: $\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$.
Таким образом, выражение равно $b^{\frac{1}{6}}$.
Ответ: $b^{\frac{1}{6}}$

4) Рассмотрим выражение $a^{\frac{4}{3}} : \sqrt[3]{a}$. Представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$. Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием, вычитая их показатели:
$a^{\frac{4}{3}} : a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}}$
Вычислим разность: $\frac{4}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
В результате получаем $a^1$ или просто $a$.
Ответ: $a$

5) В выражении $x^{1,7} \cdot x^{2,8} : \sqrt{x^5}$ сначала представим корень в виде степени: $\sqrt{x^5} = x^{\frac{5}{2}} = x^{2,5}$. Теперь выполним операции умножения и деления слева направо. При умножении степеней показатели складываются, при делении – вычитаются:
$x^{1,7} \cdot x^{2,8} : x^{2,5} = x^{1,7 + 2,8 - 2,5}$
Вычислим показатель: $1,7 + 2,8 = 4,5$; затем $4,5 - 2,5 = 2$.
Итоговое выражение равно $x^2$.
Ответ: $x^2$

6) Рассмотрим выражение $y^{-3,8} : y^{-2,3} \cdot \sqrt[3]{y}$. Представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{y} = y^{\frac{1}{3}}$. Выполним операции по порядку, слева направо. Сначала деление, затем умножение. При делении вычитаем показатели, при умножении — складываем:
$y^{-3,8} : y^{-2,3} \cdot y^{\frac{1}{3}} = y^{-3,8 - (-2,3)} \cdot y^{\frac{1}{3}} = y^{-3,8 + 2,3} \cdot y^{\frac{1}{3}} = y^{-1,5} \cdot y^{\frac{1}{3}}$
Теперь сложим оставшиеся показатели. Для удобства представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-1,5 = -\frac{3}{2}$.
$y^{-\frac{3}{2}} \cdot y^{\frac{1}{3}} = y^{-\frac{3}{2} + \frac{1}{3}}$
Вычислим сумму показателей: $-\frac{3}{2} + \frac{1}{3} = -\frac{9}{6} + \frac{2}{6} = -\frac{7}{6}$.
Таким образом, получаем $y^{-\frac{7}{6}}$.
Ответ: $y^{-\frac{7}{6}}$