Номер 77, страница 33 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 77, страница 33.

Условие.

Упростить выражение (77–78).

77 1) $(a^4)^{-\frac{3}{4}} \cdot \left(b^{-\frac{2}{3}}\right)^{-6}$;

2) $\left(\left(\frac{a^6}{b^{-3}}\right)^4\right)^{\frac{1}{12}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $(a^4)^{-\frac{3}{4}} \cdot (b^{-\frac{2}{3}})^{-6}$ воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Упростим каждый множитель по отдельности.

Первый множитель: $(a^4)^{-\frac{3}{4}} = a^{4 \cdot (-\frac{3}{4})} = a^{-3}$.

Второй множитель: $(b^{-\frac{2}{3}})^{-6} = b^{(-\frac{2}{3}) \cdot (-6)} = b^{\frac{12}{3}} = b^4$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$a^{-3} \cdot b^4$.

Используя определение степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, запишем итоговый результат:

$a^{-3} \cdot b^4 = \frac{b^4}{a^3}$.

Ответ: $\frac{b^4}{a^3}$

2) Для упрощения выражения $\left( \left( \frac{a^6}{b^{-3}} \right)^4 \right)^{\frac{1}{12}}$ будем действовать последовательно, начиная с внутренних скобок.

Сначала преобразуем дробь в скобках, используя свойство $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$:

$\frac{a^6}{b^{-3}} = a^6 \cdot b^3$.

Теперь выражение принимает вид: $\left( (a^6 b^3)^4 \right)^{\frac{1}{12}}$.

Можно сразу перемножить показатели степеней за скобками, используя свойство $( (x^m)^n )^k = x^{m \cdot n \cdot k}$. В данном случае показатели степеней для всего выражения в скобках равны 4 и $\frac{1}{12}$. Их произведение: $4 \cdot \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Выражение упрощается до: $(a^6 b^3)^{\frac{1}{3}}$.

Теперь воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$:

$(a^6 b^3)^{\frac{1}{3}} = (a^6)^{\frac{1}{3}} \cdot (b^3)^{\frac{1}{3}}$.

И снова применим свойство возведения степени в степень:

$(a^6)^{\frac{1}{3}} = a^{6 \cdot \frac{1}{3}} = a^2$.

$(b^3)^{\frac{1}{3}} = b^{3 \cdot \frac{1}{3}} = b^1 = b$.

Собираем всё вместе:

$a^2 \cdot b = a^2b$.

Ответ: $a^2b$