Номер 99, страница 36 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 99, страница 36.

Условие.

99 Сравнить числа:

1) $0,88^{\frac{1}{6}}$ и $(\frac{6}{11})^{\frac{1}{6}}$;

2) $(\frac{5}{12})^{-\frac{1}{4}}$ и $0,41^{-\frac{1}{4}}$;

3) $4,09^{3\sqrt{2}}$ и $(\frac{4}{25})^{3\sqrt{2}}$;

4) $(\frac{11}{12})^{-\sqrt{5}}$ и $(\frac{12}{13})^{-\sqrt{5}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для сравнения чисел $0,88^{\frac{1}{6}}$ и $(\frac{6}{11})^{\frac{1}{6}}$ воспользуемся свойством степенной функции $y=x^a$. Поскольку показатель степени $a = \frac{1}{6} > 0$, функция является возрастающей для положительных оснований. Это значит, что большему значению основания соответствует большее значение степени. Сравним основания: $0,88$ и $\frac{6}{11}$.
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной:$0,88 = \frac{88}{100} = \frac{22}{25}$.
Теперь сравним дроби $\frac{22}{25}$ и $\frac{6}{11}$. Приведем их к общему знаменателю $25 \times 11 = 275$:
$\frac{22}{25} = \frac{22 \times 11}{25 \times 11} = \frac{242}{275}$
$\frac{6}{11} = \frac{6 \times 25}{11 \times 25} = \frac{150}{275}$
Так как $242 > 150$, то $\frac{242}{275} > \frac{150}{275}$, следовательно, $0,88 > \frac{6}{11}$.
Поскольку $0,88 > \frac{6}{11}$ и показатель степени $\frac{1}{6}$ положителен, то и $0,88^{\frac{1}{6}} > (\frac{6}{11})^{\frac{1}{6}}$.
Ответ: $0,88^{\frac{1}{6}} > (\frac{6}{11})^{\frac{1}{6}}$.

2) Для сравнения чисел $(\frac{5}{12})^{-\frac{1}{4}}$ и $0,41^{-\frac{1}{4}}$ рассмотрим степенную функцию $y=x^a$. Показатель степени $a = -\frac{1}{4} < 0$. Для положительных оснований функция является убывающей. Это значит, что большему значению основания соответствует меньшее значение степени. Сравним основания: $\frac{5}{12}$ и $0,41$.
Представим $0,41$ в виде обыкновенной дроби: $0,41 = \frac{41}{100}$.
Сравним дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{41}{100}$. Приведем их к общему знаменателю 300:
$\frac{5}{12} = \frac{5 \times 25}{12 \times 25} = \frac{125}{300}$
$\frac{41}{100} = \frac{41 \times 3}{100 \times 3} = \frac{123}{300}$
Так как $125 > 123$, то $\frac{125}{300} > \frac{123}{300}$, следовательно, $\frac{5}{12} > 0,41$.
Поскольку $\frac{5}{12} > 0,41$ и показатель степени $-\frac{1}{4}$ отрицателен, то знак неравенства меняется на противоположный: $(\frac{5}{12})^{-\frac{1}{4}} < 0,41^{-\frac{1}{4}}$.
Ответ: $(\frac{5}{12})^{-\frac{1}{4}} < 0,41^{-\frac{1}{4}}$.

3) Для сравнения чисел $4,09^{3\sqrt{2}}$ и $(4\frac{3}{25})^{3\sqrt{2}}$ рассмотрим свойства степенной функции. Показатель степени $3\sqrt{2}$ является положительным числом ($3\sqrt{2} > 0$), поэтому функция $y=x^{3\sqrt{2}}$ является возрастающей для $x > 0$. Следовательно, большему основанию будет соответствовать большее значение степени. Сравним основания: $4,09$ и $4\frac{3}{25}$.
Преобразуем смешанную дробь в десятичную:
$4\frac{3}{25} = 4 + \frac{3}{25} = 4 + \frac{3 \times 4}{25 \times 4} = 4 + \frac{12}{100} = 4 + 0,12 = 4,12$.
Теперь сравним десятичные дроби: $4,09$ и $4,12$. Очевидно, что $4,09 < 4,12$.
Так как $4,09 < 4\frac{3}{25}$ и показатель степени $3\sqrt{2}$ положителен, то $4,09^{3\sqrt{2}} < (4\frac{3}{25})^{3\sqrt{2}}$.
Ответ: $4,09^{3\sqrt{2}} < (4\frac{3}{25})^{3\sqrt{2}}$.

4) Для сравнения чисел $(\frac{11}{12})^{-\sqrt{5}}$ и $(\frac{12}{13})^{-\sqrt{5}}$ рассмотрим свойства степенной функции. Показатель степени $-\sqrt{5}$ является отрицательным числом ($-\sqrt{5} < 0$), поэтому функция $y=x^{-\sqrt{5}}$ является убывающей для $x > 0$. Это значит, что большему основанию будет соответствовать меньшее значение степени. Сравним основания: $\frac{11}{12}$ и $\frac{12}{13}$.
Для сравнения дробей можно использовать метод перекрестного умножения. Сравним произведения $11 \times 13$ и $12 \times 12$:
$11 \times 13 = 143$
$12 \times 12 = 144$
Так как $143 < 144$, то $\frac{11}{12} < \frac{12}{13}$.
Поскольку $\frac{11}{12} < \frac{12}{13}$ и показатель степени $-\sqrt{5}$ отрицателен, то знак неравенства меняется на противоположный: $(\frac{11}{12})^{-\sqrt{5}} > (\frac{12}{13})^{-\sqrt{5}}$.
Ответ: $(\frac{11}{12})^{-\sqrt{5}} > (\frac{12}{13})^{-\sqrt{5}}$.