Вариант 2, страница 17 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Контрольная работа. Кинематика. Кинематика. Механика - страница 17.

Условие.

Вариант 2

1. Установите соответствие между параметрами движения и формулами, их описывающими, для равнозамедленного движения с начальной скоростью $v_0$.

А) Координата

Б) Скорость

1) $x_0 + vt$

2) $v_0 - at$

3) $v \cdot t$

4) $x_0 + v_0t - \frac{1}{2}at^2$

5) $v_0 + at$

2. Автомобиль начал движение с ускорением 0,5 м/с² в тот момент, когда мимо него проезжал трамвай со скоростью 5 м/с. Определите среднюю скорость автомобиля за промежуток времени, в течение которого автомобиль догонял трамвай.

3. Тело было брошено вертикально вверх, и через 0,8 с полёта его скорость уменьшилась в 2 раза. На какой высоте это произошло?

4. Как изменилась дальность полёта тела, брошенного горизонтально, если высота полёта увеличилась в 4 раза?

1) уменьшилась в 2 раза

2) уменьшилась в 4 раза

3) не изменилась

4) увеличилась в 2 раза

5) увеличилась в 4 раза

Решение.

1. Рассмотрим равнозамедленное движение. Это движение с постоянным ускорением, направленным против начальной скорости. Общие формулы кинематики для равноускоренного движения имеют вид:

Координата: $x(t) = x_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$

Скорость: $v(t) = v_0 + at$

Для равнозамедленного движения проекция ускорения на ось движения будет отрицательной ($a < 0$). Тогда формулы примут вид:

А) Координата: $x(t) = x_0 + v_0t - \frac{at^2}{2}$. Эта формула соответствует варианту 4.

Б) Скорость: $v(t) = v_0 - at$. Эта формула соответствует варианту 2.

Ответ: А – 4, Б – 2.

2. Дано:
Ускорение автомобиля $a_а = 0,5 \text{ м/с}^2$
Начальная скорость автомобиля $v_{0а} = 0 \text{ м/с}$
Скорость трамвая $v_т = 5 \text{ м/с}$ (постоянная)

Найти:
Среднюю скорость автомобиля $\text{<}v_а\text{>}$ за время погони.

Решение:

Запишем уравнения движения для автомобиля и трамвая. Примем за начало отсчета точку, где автомобиль начал движение. Ось $Ox$ направим по направлению движения.

Уравнение координаты автомобиля (равноускоренное движение):
$x_а(t) = x_{0а} + v_{0а}t + \frac{a_а t^2}{2}$
Так как $x_{0а} = 0$ и $v_{0а} = 0$, то $x_а(t) = \frac{a_а t^2}{2}$

Уравнение координаты трамвая (равномерное движение):
$x_т(t) = x_{0т} + v_т t$
Так как трамвай в момент $t=0$ находился в той же точке, $x_{0т} = 0$, то $x_т(t) = v_т t$

Автомобиль догонит трамвай, когда их координаты будут равны: $x_а(t) = x_т(t)$.
$\frac{a_а t^2}{2} = v_т t$

Поскольку нас интересует момент времени $t > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\text{t}$:
$\frac{a_а t}{2} = v_т$
$t = \frac{2v_т}{a_а}$

Подставим числовые значения и найдем время, за которое автомобиль догонит трамвай:
$t = \frac{2 \cdot 5 \text{ м/с}}{0,5 \text{ м/с}^2} = \frac{10}{0,5} = 20 \text{ с}$

Теперь определим среднюю скорость автомобиля. Для равноускоренного движения средняя скорость вычисляется по формуле:
$\text{<}v_а\text{>} = \frac{v_{0а} + v_{ка}}{2}$, где $v_{ка}$ — конечная скорость автомобиля.

Найдем конечную скорость автомобиля в момент времени $t = 20 \text{ с}$:
$v_{ка} = v_{0а} + a_а t = 0 + 0,5 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ с} = 10 \text{ м/с}$

Теперь вычислим среднюю скорость:
$\text{<}v_а\text{>} = \frac{0 \text{ м/с} + 10 \text{ м/с}}{2} = 5 \text{ м/с}$

Ответ: 5 м/с.

3. Дано:
Время полета $t = 0,8 \text{ с}$
Отношение скоростей $\frac{v_0}{v(t)} = 2$
Ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:
Высоту $\text{h}$ в момент времени $\text{t}$.

Решение:

При движении тела, брошенного вертикально вверх, его скорость в любой момент времени $\text{t}$ описывается формулой:
$v(t) = v_0 - gt$, где $v_0$ — начальная скорость.

По условию, через $t = 0,8 \text{ с}$ скорость уменьшилась в 2 раза, то есть $v(t) = \frac{v_0}{2}$.
Подставим это в уравнение скорости:
$\frac{v_0}{2} = v_0 - gt$
$gt = v_0 - \frac{v_0}{2}$
$gt = \frac{v_0}{2}$
$v_0 = 2gt$

Найдем начальную скорость:
$v_0 = 2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,8 \text{ с} = 16 \text{ м/с}$

Высота, на которой находилось тело в момент времени $\text{t}$, описывается формулой:
$h(t) = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Подставим известные значения:
$h(0,8) = 16 \text{ м/с} \cdot 0,8 \text{ с} - \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (0,8 \text{ с})^2}{2}$
$h(0,8) = 12,8 \text{ м} - \frac{10 \cdot 0,64}{2} \text{ м}$
$h(0,8) = 12,8 \text{ м} - 3,2 \text{ м} = 9,6 \text{ м}$

Ответ: 9,6 м.

4. Движение тела, брошенного горизонтально, можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное (свободное падение) по вертикали.

Дальность полета $\text{L}$ определяется горизонтальной скоростью $v_x$ и временем полета $\text{t}$:
$L = v_x t$

Время полета $\text{t}$ зависит от начальной высоты $\text{h}$ и определяется из формулы для вертикального движения (с начальной вертикальной скоростью, равной нулю):
$h = \frac{gt^2}{2}$
Отсюда выразим время полета:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим выражение для времени в формулу дальности полета:
$L = v_x \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Из этой формулы видно, что дальность полета $\text{L}$ прямо пропорциональна корню квадратному из высоты $\text{h}$: $L \propto \sqrt{h}$.

Пусть начальная высота была $h_1$, а дальность полета $L_1$. Новая высота $h_2 = 4h_1$. Найдем новую дальность полета $L_2$:
$\frac{L_2}{L_1} = \frac{v_x \sqrt{\frac{2h_2}{g}}}{v_x \sqrt{\frac{2h_1}{g}}} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} = \sqrt{\frac{4h_1}{h_1}} = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, $L_2 = 2L_1$, то есть дальность полета увеличилась в 2 раза.

Ответ: 4) увеличилась в 2 раза.