Вариант 3, страница 16 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 10. Период и частота обращения. Кинематика. Механика - страница 16.

Условие.

Вариант 3

1. Частота вращения твёрдого тела составляет 5 оборотов в секунду, а его радиус 50 см. Определите центростремительное ускорение крайних точек этого тела.

2. Две шестерни, сцепленные друг с другом, вращаются вокруг неподвижных осей. Одна шестерня радиусом 20 см совершает 40 оборотов за 10 с. Сколько оборотов в секунду совершает другая шестерня, если её радиус 5 см?

Решение.

1. Частота вращения твёрдого тела составляла 5 оборотов в секунду, а его радиус 50 см. Определите центростремительное ускорение крайних точек этого тела.

Дано:

Частота вращения, $\nu = 5 \text{ об/с} = 5 \text{ Гц}$
Радиус, $R = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

Найти:

Центростремительное ускорение, $a_ц$

Решение:

Центростремительное ускорение $a_ц$ точек, движущихся по окружности радиусом $\text{R}$, определяется по формуле:

$a_ц = \omega^2 R$

где $\omega$ — угловая скорость. Угловая скорость связана с частотой вращения $\nu$ соотношением:

$\omega = 2\pi\nu$

Подставим выражение для угловой скорости в формулу для центростремительного ускорения:

$a_ц = (2\pi\nu)^2 R = 4\pi^2\nu^2 R$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$a_ц = 4 \cdot \pi^2 \cdot (5 \text{ Гц})^2 \cdot 0.5 \text{ м} = 4 \cdot \pi^2 \cdot 25 \text{ Гц}^2 \cdot 0.5 \text{ м} = 50\pi^2 \text{ м/с}^2$

Для получения числового ответа примем $\pi \approx 3.14$.

$a_ц \approx 50 \cdot (3.14)^2 \text{ м/с}^2 \approx 50 \cdot 9.8596 \text{ м/с}^2 \approx 493 \text{ м/с}^2$

Ответ: $a_ц = 50\pi^2 \text{ м/с}^2 \approx 493 \text{ м/с}^2$.

2. Две шестерни, сцепленные друг с другом, вращаются вокруг неподвижных осей. Одна шестерня радиусом 20 см совершает 40 оборотов за 10 с. Сколько оборотов в секунду совершает другая шестерня, если её радиус 5 см?

Дано:

Радиус первой шестерни, $R_1 = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
Число оборотов первой шестерни, $N_1 = 40$
Время вращения, $t = 10 \text{ с}$
Радиус второй шестерни, $R_2 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Частоту вращения второй шестерни, $\nu_2$

Решение:

Поскольку шестерни сцеплены друг с другом, их линейные скорости в точке касания равны:

$v_1 = v_2$

Линейная скорость $\text{v}$ связана с частотой вращения $\nu$ и радиусом $\text{R}$ формулой:

$v = 2\pi\nu R$

Следовательно, мы можем записать равенство для двух шестерён:

$2\pi\nu_1 R_1 = 2\pi\nu_2 R_2$

Сократив $2\pi$, получим:

$\nu_1 R_1 = \nu_2 R_2$

Отсюда выразим искомую частоту вращения второй шестерни $\nu_2$:

$\nu_2 = \nu_1 \frac{R_1}{R_2}$

Сначала найдем частоту вращения первой шестерни $\nu_1$. Она определяется как число оборотов $N_1$ за промежуток времени $\text{t}$:

$\nu_1 = \frac{N_1}{t} = \frac{40}{10 \text{ с}} = 4 \text{ об/с}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для $\nu_2$ (можно использовать радиусы в см, так как их отношение не изменится):

$\nu_2 = 4 \text{ об/с} \cdot \frac{20 \text{ см}}{5 \text{ см}} = 4 \text{ об/с} \cdot 4 = 16 \text{ об/с}$

Ответ: 16 оборотов в секунду.