Вариант 3, страница 15 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 9. Движение материальной точки по окружности с постоянной скоростью. Кинематика твёрдого тела. Кинематика. Механика - страница 15.

Условие.

Вариант 3

1. Длина секундной стрелки часов равна 2 см. Линейная скорость конца этой стрелки равна

1) 1,05 мм/с 2) 2,1 мм/с 3) 4,2 мм/с 4) 6,3 мм/с 5) 0,2 мм/с

2. Две материальные точки движутся по окружностям с постоянными скоростями. Радиусы окружностей соответственно $R_1$ и $R_2 = 2R_1$. Во сколько раз различаются их ускорения, если линейные скорости равны?

Решение.

1. Дано:

Длина секундной стрелки (радиус) $R = 2 \text{ см}$

Период обращения секундной стрелки $T = 60 \text{ с}$

Перевод в СИ:

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Линейную скорость конца стрелки $\text{v}$

Решение:

Конец секундной стрелки движется по окружности, радиус которой равен длине стрелки. Линейная скорость при равномерном движении по окружности определяется как отношение длины пути ко времени, за которое этот путь пройден. За один полный оборот (период $\text{T}$) конец стрелки проходит путь, равный длине окружности $L = 2\pi R$.

Таким образом, формула для линейной скорости:

$v = \frac{L}{T} = \frac{2\pi R}{T}$

Секундная стрелка совершает полный оборот за 60 секунд, следовательно, её период обращения $T = 60 \text{ с}$.

Для удобства сравнения с вариантами ответов, выразим радиус в миллиметрах:

$R = 2 \text{ см} = 20 \text{ мм}$

Теперь подставим числовые значения в формулу, используя значение $\pi \approx 3.14$:

$v = \frac{2 \cdot \pi \cdot 20 \text{ мм}}{60 \text{ с}} = \frac{40\pi}{60} \frac{\text{мм}}{\text{с}} = \frac{2\pi}{3} \frac{\text{мм}}{\text{с}}$

$v \approx \frac{2 \cdot 3.14}{3} \frac{\text{мм}}{\text{с}} \approx \frac{6.28}{3} \frac{\text{мм}}{\text{с}} \approx 2.093 \text{ мм/с}$

Полученное значение скорости наиболее близко к варианту ответа 2) 2,1 мм/с.

Ответ: 2) 2,1 мм/с

2. Дано:

Отношение радиусов: $R_2 = 2R_1$

Равенство линейных скоростей: $v_1 = v_2 = v$

Найти:

Во сколько раз различаются ускорения, то есть найти отношение $\frac{a_1}{a_2}$

Решение:

При равномерном движении материальной точки по окружности она обладает центростремительным (или нормальным) ускорением. Величина этого ускорения направлена к центру окружности и вычисляется по формуле:

$a = \frac{v^2}{R}$

где $\text{v}$ – линейная скорость, а $\text{R}$ – радиус окружности.

Запишем выражения для ускорений первой и второй материальных точек, используя данную формулу.

Для первой точки (с радиусом $R_1$ и скоростью $v_1$):

$a_1 = \frac{v_1^2}{R_1}$

Для второй точки (с радиусом $R_2$ и скоростью $v_2$):

$a_2 = \frac{v_2^2}{R_2}$

Согласно условию задачи, линейные скорости точек равны ($v_1 = v_2 = v$), а радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой ($R_2 = 2R_1$). Подставим эти соотношения в формулы для ускорений:

$a_1 = \frac{v^2}{R_1}$

$a_2 = \frac{v^2}{2R_1}$

Чтобы определить, во сколько раз различаются их ускорения, найдем их отношение:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\frac{v^2}{R_1}}{\frac{v^2}{2R_1}} = \frac{v^2}{R_1} \cdot \frac{2R_1}{v^2} = 2$

Это означает, что ускорение первой точки в 2 раза больше ускорения второй точки ($a_1 = 2a_2$).

Ответ: Ускорения различаются в 2 раза.