Вариант 3, страница 14 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Кинематика. Самостоятельная работа № 8. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - страница 14.

Условие.

Вариант 3

1. С балкона, расположенного на высоте $15 \text{ м}$, бросают мяч со скоростью $20 \text{ м/с}$ под углом $30^\circ$ к горизонту. Определите время полёта мяча.

2. С некоторой высоты тело бросают горизонтально. Как изменятся время и дальность полёта тела при увеличении скорости броска?

Решение.

1. Дано:

$h = 15$ м

$v_0 = 20$ м/с

$\alpha = 30°$

$g \approx 10$ м/с²

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

$\text{t}$ - ?

Решение:

Движение мяча можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали. Выберем систему координат, в которой начало находится в точке броска, ось OX направлена горизонтально, а ось OY — вертикально вверх. В этом случае начальная высота будет $y_0 = 0$, а конечная координата по вертикали при падении на землю будет $y = -h = -15$ м.

Запишем уравнение движения мяча по вертикальной оси OY:

$y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

где $v_{0y}$ — начальная проекция скорости на ось OY. Она равна:

$v_{0y} = v_0 \sin\alpha = 20 \cdot \sin(30°) = 20 \cdot 0.5 = 10$ м/с

В момент падения на землю координата мяча по оси OY будет равна $-h$. Подставим известные значения в уравнение движения:

$-15 = 10t - \frac{10t^2}{2}$

$-15 = 10t - 5t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5t^2 - 10t - 15 = 0$

Разделим все уравнение на 5 для упрощения:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, корни $t_1$ и $t_2$ удовлетворяют условиям: $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -3$. Легко подобрать корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Так как время не может быть отрицательной величиной, физический смысл имеет только положительный корень.

$t = 3$ с.

Ответ: время полёта мяча составляет 3 с.

2. Решение:

Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты $\text{h}$. Начальная скорость тела $v_0$ направлена горизонтально. Разложим движение на горизонтальную и вертикальную составляющие.

1. Вертикальное движение. Начальная вертикальная скорость равна нулю ($v_{0y} = 0$). Тело падает под действием силы тяжести. Время падения $\text{t}$ определяется только высотой $\text{h}$ и ускорением свободного падения $\text{g}$. Уравнение для вертикальной координаты (если направить ось OY вниз): $y(t) = \frac{gt^2}{2}$. Когда тело достигнет земли, $y(t) = h$. Отсюда находим время полёта:

$h = \frac{gt^2}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Из этой формулы видно, что время полёта не зависит от начальной горизонтальной скорости $v_0$. Следовательно, при увеличении скорости броска время полёта не изменится.

2. Горизонтальное движение. По горизонтали тело движется равномерно со скоростью $v_0$, так как в этом направлении силы не действуют (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Дальность полёта $\text{L}$ — это расстояние, которое тело пролетит по горизонтали за время полёта $\text{t}$.

$L = v_0 \cdot t$

Подставим выражение для времени $\text{t}$, которое мы нашли ранее:

$L = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Из этой формулы видно, что дальность полёта $\text{L}$ прямо пропорциональна начальной скорости $v_0$. Следовательно, при увеличении скорости броска дальность полёта увеличится.

Ответ: при увеличении скорости броска время полёта тела не изменится, а дальность полёта увеличится пропорционально скорости броска.