Вариант 5*, страница 14 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Кинематика. Самостоятельная работа № 8. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - страница 14.

Условие.

Вариант 5*

1. Камень брошен с балкона под углом $45^\circ$ к горизонту. Определите высоту расположения балкона, если камень упал на землю под углом $60^\circ$ к поверхности земли на расстоянии $10\text{ м}$ от основания здания.

2. Определите угол запуска сигнальной ракеты, если максимальная высота подъёма ракеты в два раза больше дальности её полёта.

Решение.

1. Дано:

Угол броска, $ \alpha_0 = 45^\circ $
Угол падения, $ \beta = 60^\circ $
Дальность полета по горизонтали, $ L = 10 \text{ м} $
Ускорение свободного падения, $ g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 $

Найти:

Высоту балкона, $ h $

Решение:

Движение камня описывается уравнениями для тела, брошенного под углом к горизонту. Выберем систему координат, в которой начало находится у основания здания, ось $ Ox $ направлена горизонтально, а ось $ Oy $ — вертикально вверх. Тогда начальные координаты камня $(0, h)$.

Уравнение траектории движения камня имеет вид: $ y(x) = y_0 + x \tan{\alpha_0} - \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2{\alpha_0}} $ где $ y_0 = h $ — начальная высота (высота балкона), $ v_0 $ — начальная скорость, $ \alpha_0 $ — угол броска.

В момент падения на землю ($ x = L $), координата $ y $ равна нулю: $ 0 = h + L \tan{\alpha_0} - \frac{gL^2}{2v_0^2 \cos^2{\alpha_0}} \quad (1) $

Угол наклона траектории в любой точке определяется производной $ \frac{dy}{dx} $. Угол $ \theta $, который вектор скорости составляет с горизонталью, находится как $ \tan{\theta} = \frac{dy}{dx} $. $ \frac{dy}{dx} = \tan{\alpha_0} - \frac{gx}{v_0^2 \cos^2{\alpha_0}} $

В точке падения ($ x=L $), камень падает под углом $ \beta = 60^\circ $ к поверхности земли. Так как вектор скорости направлен вниз, угол с положительным направлением оси $ Ox $ будет $ -\beta $. $ \tan(-\beta) = \tan{\alpha_0} - \frac{gL}{v_0^2 \cos^2{\alpha_0}} $ $ -\tan{\beta} = \tan{\alpha_0} - \frac{gL}{v_0^2 \cos^2{\alpha_0}} \quad (2) $

Из уравнения (2) выразим неизвестный член $ \frac{g}{2v_0^2 \cos^2{\alpha_0}} $: $ \frac{gL}{v_0^2 \cos^2{\alpha_0}} = \tan{\alpha_0} + \tan{\beta} $ $ \frac{g}{2v_0^2 \cos^2{\alpha_0}} = \frac{\tan{\alpha_0} + \tan{\beta}}{2L} $

Теперь подставим это выражение в уравнение (1): $ 0 = h + L \tan{\alpha_0} - L^2 \left( \frac{\tan{\alpha_0} + \tan{\beta}}{2L} \right) $ $ 0 = h + L \tan{\alpha_0} - \frac{L}{2}(\tan{\alpha_0} + \tan{\beta}) $

Выразим отсюда искомую высоту $ h $: $ h = \frac{L}{2}(\tan{\alpha_0} + \tan{\beta}) - L \tan{\alpha_0} $ $ h = \frac{L}{2}\tan{\alpha_0} + \frac{L}{2}\tan{\beta} - L \tan{\alpha_0} $ $ h = \frac{L}{2}(\tan{\beta} - \tan{\alpha_0}) $

Подставим числовые значения: $ \tan(45^\circ) = 1 $ $ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} $ $ h = \frac{10}{2}(\sqrt{3} - 1) = 5(\sqrt{3} - 1) \approx 5(1.732 - 1) = 5 \cdot 0.732 = 3.66 \text{ м} $

Ответ: высота балкона составляет $ 5(\sqrt{3} - 1) \approx 3.66 $ м.

2. Дано:

Максимальная высота подъема, $ H $
Дальность полета, $ R $
Соотношение: $ H = 2R $

Найти:

Угол запуска ракеты, $ \alpha $

Решение:

Движение ракеты (после выключения двигателя) можно рассматривать как движение тела, брошенного под углом к горизонту с поверхности земли (начальная высота равна нулю).

Формула для максимальной высоты подъема: $ H = \frac{v_0^2 \sin^2{\alpha}}{2g} $ где $ v_0 $ — начальная скорость, $ \alpha $ — угол запуска, $ g $ — ускорение свободного падения.

Формула для дальности полета: $ R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} $

По условию задачи, $ H = 2R $. Подставим формулы для $ H $ и $ R $ в это соотношение: $ \frac{v_0^2 \sin^2{\alpha}}{2g} = 2 \cdot \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} $

Сократим одинаковые множители $ v_0^2 $ и $ g $ в обеих частях уравнения (предполагая, что $ v_0 \neq 0 $): $ \frac{\sin^2{\alpha}}{2} = 2 \sin(2\alpha) $

Используем тригонометрическую формулу двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin{\alpha} \cos{\alpha} $: $ \frac{\sin^2{\alpha}}{2} = 2(2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}) $ $ \frac{\sin^2{\alpha}}{2} = 4 \sin{\alpha} \cos{\alpha} $

Поскольку для осуществления полета угол $ \alpha $ должен быть в пределах от 0 до 90 градусов, $ \sin{\alpha} \neq 0 $. Мы можем разделить обе части уравнения на $ \sin{\alpha} $: $ \frac{\sin{\alpha}}{2} = 4 \cos{\alpha} $

Чтобы найти тангенс угла, разделим обе части на $ \cos{\alpha} $ (так как $ \alpha \neq 90^\circ $, то $ \cos{\alpha} \neq 0 $): $ \frac{\sin{\alpha}}{2 \cos{\alpha}} = 4 $ $ \frac{1}{2} \tan{\alpha} = 4 $ $ \tan{\alpha} = 8 $

Следовательно, угол запуска $ \alpha $ равен арктангенсу 8: $ \alpha = \arctan(8) $ $ \alpha \approx 82.87^\circ $

Ответ: угол запуска сигнальной ракеты равен $ \arctan(8) $, что составляет примерно $ 82.9^\circ $.