Вариант 1, страница 13 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Кинематика. Самостоятельная работа № 8. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - страница 13.

Условие.

Самостоятельная работа № 8

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Вариант 1

1. Тело брошено с земли под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту со скоростью 20 м/с. Как зависят от времени вертикальная и горизонтальная координаты тела?

2. Определите скорость камня, брошенного с высоты 10 м под углом $\alpha = 45^\circ$ к горизонту со скоростью 30 м/с, в точке максимального подъёма.

Решение.

1. Тело брошено с земли под углом α = 30° к горизонту со скоростью 20 м/с. Как зависят от времени вертикальная и горизонтальная координаты тела?

Дано:

$v_0 = 20$ м/с

$\alpha = 30°$

$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Начальные координаты: $x_0 = 0$, $y_0 = 0$

Найти:

$x(t)$ — зависимость горизонтальной координаты от времени.

$y(t)$ — зависимость вертикальной координаты от времени.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, раскладывается на два независимых движения: равномерное движение вдоль горизонтальной оси (Ox) и равноускоренное движение вдоль вертикальной оси (Oy) с ускорением $a_y = -g$.

Разложим начальную скорость $v_0$ на составляющие:

Горизонтальная составляющая скорости (постоянна): $v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha)$

Вертикальная составляющая начальной скорости: $v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha)$

Уравнение для горизонтальной координаты $\text{x}$ в зависимости от времени $\text{t}$ имеет вид:

$x(t) = x_0 + v_{0x} \cdot t$

Уравнение для вертикальной координаты $\text{y}$ в зависимости от времени $\text{t}$ имеет вид:

$y(t) = y_0 + v_{0y} \cdot t + \frac{a_y t^2}{2} = y_0 + v_{0y} \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

Подставим заданные значения в формулы:

$v_{0x} = 20 \cdot \cos(30°) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ м/с.

$v_{0y} = 20 \cdot \sin(30°) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ м/с.

Так как тело брошено с земли, $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$.

Получаем искомые зависимости:

Для горизонтальной координаты: $x(t) = (10\sqrt{3}) \cdot t$ (м).

Для вертикальной координаты: $y(t) = 10t - \frac{9.8t^2}{2} = 10t - 4.9t^2$ (м).

Ответ: Зависимость горизонтальной координаты от времени: $x(t) = 10\sqrt{3} \cdot t$; зависимость вертикальной координаты от времени: $y(t) = 10t - 4.9t^2$.

2. Определите скорость камня, брошенного с высоты 10 м под углом α = 45° к горизонту со скоростью 30 м/с, в точке максимального подъёма.

Дано:

$h_0 = 10$ м

$\alpha = 45°$

$v_0 = 30$ м/с

Найти:

$v_{max\_h}$ — скорость в точке максимального подъёма.

Решение:

Скорость тела в любой точке траектории имеет две составляющие: горизонтальную $v_x$ и вертикальную $v_y$.

При движении тела под углом к горизонту (без учета сопротивления воздуха) горизонтальная составляющая скорости $v_x$ остается постоянной на протяжении всего полета и равной проекции начальной скорости на ось Ox:

$v_x = v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha)$

В точке максимального подъёма траектории вертикальная составляющая скорости $v_y$ обращается в ноль, так как тело на мгновение прекращает подниматься и начинает падать.

Таким образом, полная скорость тела в точке максимального подъёма равна её горизонтальной составляющей:

$v_{max\_h} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_x^2 + 0^2} = v_x$

Подставим числовые значения для нахождения $v_x$:

$v_{max\_h} = v_0 \cdot \cos(\alpha) = 30 \cdot \cos(45°) = 30 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2}$ м/с.

Начальная высота броска $h_0 = 10$ м не влияет на скорость в верхней точке траектории, она влияет только на саму максимальную высоту подъема относительно земли и на общее время полета.

Вычислим приближенное значение скорости:

$v_{max\_h} = 15\sqrt{2} \approx 15 \cdot 1.414 \approx 21.21$ м/с.

Ответ: Скорость камня в точке максимального подъёма равна $15\sqrt{2}$ м/с, что приблизительно составляет 21.21 м/с.