Вариант 4, страница 12 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Кинематика. Самостоятельная работа № 6. Движение с постоянным ускорением - страница 12.

Условие.

Вариант 4

1. Мяч бросили вертикально вверх, он упал на землю через 3 с. Определите начальную скорость мяча и максимальную высоту его подъёма. Сопротивление воздуха не учитывайте.

2. При движении тела по вертикали зависимость его скорости от времени имела вид $v_y = 5 - 10t$. Запишите зависимость координаты тела от времени, если начальная координата была равна 0.

Решение.

1. Дано:

Полное время полета, $t_{полн} = 3$ с

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Начальную скорость, $v_0$ - ?

Максимальную высоту, $H_{max}$ - ?

Решение:

Поскольку сопротивление воздуха не учитывается, движение мяча является симметричным. Это означает, что время подъема на максимальную высоту ($t_{подъема}$) равно времени падения с этой высоты ($t_{падения}$).

Полное время полета $t_{полн} = t_{подъема} + t_{падения}$.

Следовательно, время подъема равно половине полного времени полета:

$t_{подъема} = \frac{t_{полн}}{2} = \frac{3 \text{ с}}{2} = 1.5 \text{ с}$

В верхней точке траектории, то есть на максимальной высоте, скорость мяча мгновенно становится равной нулю ($v = 0$). Для нахождения начальной скорости используем формулу скорости для равноускоренного движения (в данном случае, равнозамедленного при подъеме):

$v = v_0 - gt$

Подставим в эту формулу значения для момента времени, когда мяч достигает максимальной высоты, то есть $t = t_{подъема}$ и $v = 0$:

$0 = v_0 - g \cdot t_{подъема}$

Выразим отсюда начальную скорость $v_0$:

$v_0 = g \cdot t_{подъема} = 10 \text{ м/с²} \cdot 1.5 \text{ с} = 15 \text{ м/с}$

Теперь найдем максимальную высоту подъема $H_{max}$, используя формулу для перемещения (в данном случае, высоты) при равноускоренном движении:

$H_{max} = v_0 t_{подъема} - \frac{g t_{подъема}^2}{2}$

Подставим известные значения:

$H_{max} = 15 \text{ м/с} \cdot 1.5 \text{ с} - \frac{10 \text{ м/с²} \cdot (1.5 \text{ с})^2}{2} = 22.5 \text{ м} - \frac{10 \cdot 2.25}{2} \text{ м} = 22.5 \text{ м} - 11.25 \text{ м} = 11.25 \text{ м}$

Ответ: начальная скорость мяча $15$ м/с, максимальная высота подъема $11.25$ м.

2. Дано:

Зависимость скорости от времени, $v_y(t) = 5 - 10t$

Начальная координата, $y_0 = 0$

Найти:

Зависимость координаты от времени, $y(t)$ - ?

Решение:

Общий вид уравнения скорости для тела, движущегося с постоянным ускорением, имеет вид: $v_y(t) = v_{0y} + a_y t$, где $v_{0y}$ — проекция начальной скорости на ось y, а $a_y$ — проекция ускорения на ось y.

Сравнивая данное в условии уравнение $v_y = 5 - 10t$ с общим видом, мы можем определить параметры движения:

Проекция начальной скорости $v_{0y} = 5$ м/с.

Проекция ускорения $a_y = -10$ м/с² (это ускорение свободного падения, направленное в сторону, противоположную начальной скорости).

Общий вид уравнения координаты для тела, движущегося с постоянным ускорением, выглядит следующим образом: $y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2}$.

Подставим в это уравнение известные нам значения: начальную координату $y_0 = 0$, проекцию начальной скорости $v_{0y} = 5$ м/с и проекцию ускорения $a_y = -10$ м/с².

$y(t) = 0 + 5 \cdot t + \frac{(-10) \cdot t^2}{2}$

Упростив выражение, получаем искомую зависимость координаты тела от времени:

$y(t) = 5t - 5t^2$

Ответ: зависимость координаты тела от времени имеет вид $y(t) = 5t - 5t^2$.