Вариант 2, страница 10 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Кинематика. Самостоятельная работа № 5. Путь и перемещение при равноускоренном прямолинейном движении - страница 10.

Условие.

Вариант 3

1. Тело движется прямолинейно согласно уравнению $x = -t + t^2$ [м]. Определите пройденный путь и перемещение тела за 3 с.

2. Автобус начинает движение от остановки и за 5 с набирает скорость 10 м/с. Следующие 20 с он движется равномерно. Затем в течение 15 с автобус тормозит до полной остановки. Определите путь, пройденный автобусом за это время.

Решение.

1. Тело движется прямолинейно согласно уравнению $x = -t + t^2$ [м]. Определите пройденный путь и перемещение тела за 3 с.

Дано:

Уравнение движения: $x(t) = -t + t^2$

Время движения: $t = 3$ с

Найти:

Перемещение $Δx$

Пройденный путь $\text{S}$

Решение:

1. Определение перемещения.

Перемещение тела – это разность между его конечной и начальной координатами. Найдем координаты тела в начальный момент времени ($t_0 = 0$ с) и в конечный ($t = 3$ с).

Начальная координата: $x_0 = x(0) = -0 + 0^2 = 0$ м.

Конечная координата: $x(3) = -3 + 3^2 = -3 + 9 = 6$ м.

Перемещение равно: $Δx = x(3) - x(0) = 6 - 0 = 6$ м.

2. Определение пройденного пути.

Пройденный путь равен перемещению только в том случае, если тело движется без изменения направления. Чтобы проверить это, найдем уравнение скорости как производную от координаты по времени:

$v(t) = x'(t) = (-t + t^2)' = -1 + 2t$.

Найдем момент времени, когда скорость равна нулю (возможный момент смены направления движения):

$v(t) = 0 \implies -1 + 2t = 0 \implies 2t = 1 \implies t = 0,5$ с.

Так как $t = 0,5$ с входит в наш интервал времени [0; 3], тело меняет направление движения. Поэтому пройденный путь не равен модулю перемещения. Он будет равен сумме модулей перемещений на участках от 0 до 0,5 с и от 0,5 до 3 с.

Найдем координату тела в момент смены направления $t = 0,5$ с:

$x(0,5) = -0,5 + (0,5)^2 = -0,5 + 0,25 = -0,25$ м.

Путь на первом участке (от $t_0 = 0$ с до $t_1 = 0,5$ с):

$S_1 = |x(0,5) - x(0)| = |-0,25 - 0| = 0,25$ м.

Путь на втором участке (от $t_1 = 0,5$ с до $t_2 = 3$ с):

$S_2 = |x(3) - x(0,5)| = |6 - (-0,25)| = |6,25| = 6,25$ м.

Общий пройденный путь равен сумме путей на этих участках:

$S = S_1 + S_2 = 0,25 + 6,25 = 6,5$ м.

Ответ: Перемещение тела за 3 с составило 6 м, а пройденный путь – 6,5 м.

2. Автобус начинает движение от остановки и за 5 с набирает скорость 10 м/с. Следующие 20 с он движется равномерно. Затем в течение 15 с автобус тормозит до полной остановки. Определите путь, пройденный автобусом за это время.

Дано:

Участок 1 (разгон):

Начальная скорость $v_{01} = 0$ м/с

Конечная скорость $v_{f1} = 10$ м/с

Время $t_1 = 5$ с

Участок 2 (равномерное движение):

Скорость $v_2 = 10$ м/с

Время $t_2 = 20$ с

Участок 3 (торможение):

Начальная скорость $v_{03} = 10$ м/с

Конечная скорость $v_{f3} = 0$ м/с

Время $t_3 = 15$ с

Найти:

Общий путь $S_{общ}$

Решение:

Общий путь равен сумме путей, пройденных на трех участках: $S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3$.

1. Путь на участке разгона ($S_1$).

Движение равноускоренное. Путь можно найти по формуле средней скорости:

$S_1 = \frac{v_{01} + v_{f1}}{2} \cdot t_1 = \frac{0 + 10}{2} \cdot 5 = 5 \cdot 5 = 25$ м.

2. Путь на участке равномерного движения ($S_2$).

При равномерном движении путь равен произведению скорости на время:

$S_2 = v_2 \cdot t_2 = 10 \cdot 20 = 200$ м.

3. Путь на участке торможения ($S_3$).

Движение равнозамедленное. Путь также можно найти по формуле средней скорости:

$S_3 = \frac{v_{03} + v_{f3}}{2} \cdot t_3 = \frac{10 + 0}{2} \cdot 15 = 5 \cdot 15 = 75$ м.

4. Общий путь.

Суммируем пути, пройденные на всех участках:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 25 + 200 + 75 = 300$ м.

Ответ: Путь, пройденный автобусом за все время, составляет 300 м.