Вариант 5*, страница 8 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 3. Относительность движения. Кинематика. Механика - страница 8.

Условие.

Вариант 5*

1. Самолёт летит из пункта A в пункт B и обратно два раза. Первый раз в безветренную погоду, а второй раз при ветре, направление которого совпадает с направлением из пункта A в пункт B. В каком случае время полёта меньше?

2. Сформулируйте правило параллелограмма для сложения векторов. Поясните рисунком.

Решение.

1. Дано:
$\text{S}$ - расстояние между пунктами А и В
$v_c$ - собственная скорость самолета (скорость относительно воздуха)
$v_в$ - скорость ветра

Найти:

Сравнить время полета туда и обратно в безветренную погоду ($t_1$) и при попутном/встречном ветре ($t_2$).

Решение:

Рассмотрим оба случая.
Случай 1: Безветренная погода ($v_в = 0$).
Время полета из пункта А в пункт В: $t_{АВ1} = \frac{S}{v_c}$.
Время полета из пункта B в пункт А: $t_{ВА1} = \frac{S}{v_c}$.
Общее время полета: $t_1 = t_{АВ1} + t_{ВА1} = \frac{S}{v_c} + \frac{S}{v_c} = \frac{2S}{v_c}$.

Случай 2: Есть ветер, направленный из А в В.
При полете из А в В ветер является попутным, поэтому скорость самолета относительно земли равна сумме его собственной скорости и скорости ветра: $v_c + v_в$.
Время полета из А в В: $t_{АВ2} = \frac{S}{v_c + v_в}$.
При полете из В в А ветер является встречным, поэтому скорость самолета относительно земли равна разности его собственной скорости и скорости ветра: $v_c - v_в$. (Предполагается, что $v_c > v_в$, иначе самолет не сможет вернуться).
Время полета из В в А: $t_{ВА2} = \frac{S}{v_c - v_в}$.
Общее время полета: $t_2 = t_{АВ2} + t_{ВА2} = \frac{S}{v_c + v_в} + \frac{S}{v_c - v_в}$.
Приведем выражение для $t_2$ к общему знаменателю:
$t_2 = S \cdot \left(\frac{1}{v_c + v_в} + \frac{1}{v_c - v_в}\right) = S \cdot \frac{(v_c - v_в) + (v_c + v_в)}{(v_c + v_в)(v_c - v_в)} = S \cdot \frac{2v_c}{v_c^2 - v_в^2} = \frac{2Sv_c}{v_c^2 - v_в^2}$.

Сравнение $t_1$ и $t_2$.
$t_1 = \frac{2S}{v_c} = \frac{2Sv_c}{v_c^2}$
$t_2 = \frac{2Sv_c}{v_c^2 - v_в^2}$
Так как ветер существует, $v_в > 0$, и следовательно $v_в^2 > 0$.
Это означает, что знаменатель в выражении для $t_2$ меньше знаменателя в выражении для $t_1$: $v_c^2 - v_в^2 < v_c^2$.
Поскольку числители ($2Sv_c$) у обеих дробей одинаковы, та дробь больше, у которой знаменатель меньше.
Следовательно, $t_2 > t_1$.
Это означает, что выигрыш во времени при полете с попутным ветром всегда меньше, чем проигрыш во времени при полете с той же скоростью ветра против него.

Ответ: Время полёта меньше в безветренную погоду.

2. Правило параллелограмма для сложения векторов формулируется следующим образом:
Если два неколлинеарных вектора приведены к общему началу, то их сумма (результирующий вектор) представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, причем эта диагональ исходит из их общего начала.

Пояснение рисунком:

На рисунке показаны два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, выходящие из одной точки O.
Чтобы найти их сумму, мы достраиваем фигуру до параллелограмма, проводя через конец вектора $\vec{a}$ прямую, параллельную вектору $\vec{b}$, и через конец вектора $\vec{b}$ — прямую, параллельную вектору $\vec{a}$.
Вектор $\vec{c}$, который является диагональю этого параллелограмма и выходит из той же точки O, является суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: Если два неколлинеарных вектора отложены от одной точки, то их сумма равна вектору, совпадающему с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах, который исходит из их общего начала.