Вариант 2, страница 9 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Кинематика. Самостоятельная работа № 4. Средняя скорость. Сложение скоростей - страница 9.

Условие.

Вариант 2

1. Автомобиль проехал треть пути со скоростью 18 км/ч, а оставшуюся часть пути со скоростью 54 км/ч. Определите среднюю скорость движения автомобиля.

2. Два автомобиля движутся навстречу друг другу. Первый автомобиль — со скоростью 15 м/с в направлении оси $OX$, второй — со скоростью 10 м/с. С какой скоростью второй автомобиль движется относительно первого?

Решение.

1. Дано:

$S_1 = \frac{1}{3} S$ (первая часть пути)
$v_1 = 18$ км/ч (скорость на первой части пути)
$S_2 = S - S_1 = \frac{2}{3} S$ (оставшаяся часть пути)
$v_2 = 54$ км/ч (скорость на второй части пути)

$v_1 = 18 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 18 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$
$v_2 = 54 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$

Найти:

$v_{ср}$ - ?

Решение:

Средняя скорость движения автомобиля определяется как отношение всего пройденного пути $\text{S}$ ко всему времени движения $\text{t}$:
$v_{ср} = \frac{S}{t}$
Общее время движения $\text{t}$ складывается из времени движения на первом участке $t_1$ и на втором $t_2$: $t = t_1 + t_2$.
Время, затраченное на первую треть пути:
$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/3}{v_1} = \frac{S}{3v_1}$
Время, затраченное на оставшиеся две трети пути:
$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{2S/3}{v_2} = \frac{2S}{3v_2}$
Общее время:
$t = t_1 + t_2 = \frac{S}{3v_1} + \frac{2S}{3v_2} = S \left( \frac{1}{3v_1} + \frac{2}{3v_2} \right) = S \frac{v_2 + 2v_1}{3v_1v_2}$
Подставим выражение для общего времени в формулу средней скорости:
$v_{ср} = \frac{S}{t} = \frac{S}{S \frac{v_2 + 2v_1}{3v_1v_2}} = \frac{3v_1v_2}{v_2 + 2v_1}$
Подставим числовые значения в исходных единицах (км/ч):
$v_{ср} = \frac{3 \cdot 18 \text{ км/ч} \cdot 54 \text{ км/ч}}{54 \text{ км/ч} + 2 \cdot 18 \text{ км/ч}} = \frac{2916}{54 + 36} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{2916}{90} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 32.4 \text{ км/ч}$.
Для проверки можно провести расчеты в системе СИ:
$v_{ср} = \frac{3 \cdot 5 \text{ м/с} \cdot 15 \text{ м/с}}{15 \text{ м/с} + 2 \cdot 5 \text{ м/с}} = \frac{225}{15 + 10} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{225}{25} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 9 \text{ м/с}$.
$9 \text{ м/с} = 9 \cdot 3.6 \text{ км/ч} = 32.4 \text{ км/ч}$.

Ответ: 32,4 км/ч.

2. Дано:

Скорость первого автомобиля $v_1 = 15$ м/с (в направлении оси OX)
Скорость второго автомобиля $v_2 = 10$ м/с
Автомобили движутся навстречу друг другу.

Найти:

Скорость второго автомобиля относительно первого $v_{21}$ - ?

Решение:

Скорость второго автомобиля относительно первого $\vec{v}_{21}$ находится по закону сложения скоростей (в векторной форме): $\vec{v}_{21} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$.
Выберем систему отсчета, связанную с землей, и направим ось OX по направлению движения первого автомобиля. Тогда проекция его скорости на эту ось положительна: $v_{1x} = v_1 = 15$ м/с.
Поскольку второй автомобиль движется навстречу первому, его скорость направлена против оси OX. Проекция его скорости на ось OX отрицательна: $v_{2x} = -v_2 = -10$ м/с.
Проекция относительной скорости на ось OX равна:
$v_{21x} = v_{2x} - v_{1x} = -10 \text{ м/с} - 15 \text{ м/с} = -25$ м/с.
Знак "минус" показывает, что относительно первого автомобиля второй движется в отрицательном направлении оси OX.
Скорость (модуль вектора) второго автомобиля относительно первого равна модулю проекции:
$v_{21} = |v_{21x}| = |-25 \text{ м/с}| = 25$ м/с.
Поскольку автомобили движутся навстречу, их относительная скорость сближения равна сумме их скоростей относительно земли.

Ответ: 25 м/с.