Вариант 4, страница 9 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Кинематика. Самостоятельная работа № 4. Средняя скорость. Сложение скоростей - страница 9.

Условие.

Вариант 4

1. Первую треть пути трамвай двигался со скоростью $18 \text{ км/ч}$. Определите скорость трамвая на оставшемся участке, если средняя скорость движения на всём пути составила $7,5 \text{ м/с}$.

2. Человек бежит со скоростью $5 \text{ м/с}$ в вагоне поезда против движения состава. Скорость поезда равна $18 \text{ км/ч}$ относительно рельсов. Определите скорость человека относительно земли.

Решение.

1. Дано:
$S_1 = \frac{1}{3}S$
$v_1 = 18$ км/ч
$v_{ср} = 7,5$ м/с

Перевод в систему СИ:

$v_1 = 18 \text{ км/ч} = 18 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$

Найти:

$v_2$ - скорость трамвая на оставшемся участке пути.

Решение:

Средняя скорость движения определяется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения:
$v_{ср} = \frac{S}{t_{общ}}$
Весь путь $\text{S}$ состоит из двух участков: $S_1 = \frac{1}{3}S$ и $S_2 = S - S_1 = S - \frac{1}{3}S = \frac{2}{3}S$.
Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времени движения на каждом участке: $t_{общ} = t_1 + t_2$.
Время движения на первом участке: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/3}{v_1} = \frac{S}{3v_1}$.
Время движения на втором участке: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{2S/3}{v_2} = \frac{2S}{3v_2}$.
Подставим выражения для времени в формулу общего времени:
$t_{общ} = \frac{S}{3v_1} + \frac{2S}{3v_2}$
Теперь подставим это в формулу средней скорости:
$v_{ср} = \frac{S}{\frac{S}{3v_1} + \frac{2S}{3v_2}}$
Сократим $\text{S}$:
$v_{ср} = \frac{1}{\frac{1}{3v_1} + \frac{2}{3v_2}}$
Выразим из этой формулы искомую скорость $v_2$:
$\frac{1}{v_{ср}} = \frac{1}{3v_1} + \frac{2}{3v_2}$
$\frac{2}{3v_2} = \frac{1}{v_{ср}} - \frac{1}{3v_1}$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{2}{3v_2} = \frac{3v_1 - v_{ср}}{3v_1v_{ср}}$
$v_2 = \frac{2 \cdot 3v_1v_{ср}}{3(3v_1 - v_{ср})} = \frac{2v_1v_{ср}}{3v_1 - v_{ср}}$
Подставим числовые значения:
$v_2 = \frac{2 \cdot 5 \text{ м/с} \cdot 7,5 \text{ м/с}}{3 \cdot 5 \text{ м/с} - 7,5 \text{ м/с}} = \frac{75}{15 - 7,5} = \frac{75}{7,5} = 10 \text{ м/с}$.

Ответ: скорость трамвая на оставшемся участке пути равна 10 м/с.

2. Дано:
$v_{ч/п} = 5$ м/с (скорость человека относительно поезда)
$v_{п/з} = 18$ км/ч (скорость поезда относительно земли)

Перевод в систему СИ:

$v_{п/з} = 18 \text{ км/ч} = 18 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$

Найти:

$v_{ч/з}$ - скорость человека относительно земли.

Решение:

Это задача на закон сложения скоростей. Скорость тела в неподвижной системе отсчета (земля) равна векторной сумме его скорости в подвижной системе отсчета (поезд) и скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной.
$\vec{v}_{ч/з} = \vec{v}_{ч/п} + \vec{v}_{п/з}$
Выберем положительное направление оси X совпадающим с направлением движения поезда. Тогда проекция скорости поезда на эту ось будет $v_{п/з} = 5$ м/с.
Поскольку человек бежит против движения поезда, его скорость относительно поезда будет направлена в противоположную сторону, и ее проекция на ось X будет отрицательной: $v_{ч/п} = -5$ м/с.
Тогда скорость человека относительно земли в проекции на ось X будет:
$v_{ч/з} = v_{п/з} + v_{ч/п} = 5 \text{ м/с} + (-5 \text{ м/с}) = 0 \text{ м/с}$.
Это означает, что для наблюдателя, стоящего на земле, человек в вагоне будет неподвижен.

Ответ: скорость человека относительно земли равна 0 м/с.