Вариант 1, страница 10 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Кинематика. Самостоятельная работа № 5. Путь и перемещение при равноускоренном прямолинейном движении - страница 10.

Условие.

Самостоятельная работа № 5

Путь и перемещение при равноускоренном прямолинейном движении

Вариант 1

1. Материальная точка движется согласно уравнению $x = -2 + t - 0,5t^2$ [м]. Определите путь и перемещение точки за 4 с.

2. Электричка равномерно набирает скорость до 36 км/ч в течение 50 с, следующие 150 с она тормозит до полной остановки. Определите путь, пройденный электричкой за это время.

Решение.

1. Материальная точка движется согласно уравнению $x = -2 + t - 0,5t^2$ [м]. Определите путь и перемещение точки за 4 с.

Решение

Перемещение материальной точки $s_x$ равно изменению ее координаты. Найдем координаты точки в начальный момент времени ($t_0 = 0$ с) и в конечный момент времени ($t = 4$ с).

Начальная координата:

$x_0 = x(0) = -2 + 0 - 0,5 \cdot 0^2 = -2$ м.

Конечная координата:

$x(4) = -2 + 4 - 0,5 \cdot 4^2 = 2 - 0,5 \cdot 16 = 2 - 8 = -6$ м.

Перемещение точки:

$s_x = x(4) - x_0 = -6 - (-2) = -4$ м.

Для нахождения пути $\text{L}$ нужно выяснить, меняла ли точка направление своего движения. Для этого найдем уравнение зависимости скорости от времени, взяв производную от уравнения координаты по времени:

$v_x(t) = x'(t) = ( -2 + t - 0,5t^2 )' = 1 - t$.

Найдем момент времени, когда скорость точки становится равной нулю:

$v_x(t) = 0 \implies 1 - t = 0 \implies t = 1$ с.

Так как в момент времени $t = 1$ с (что входит в интервал от 0 до 4 с) скорость точки равна нулю, это означает, что точка остановилась и изменила направление движения.

Путь будет состоять из двух участков: от $t_0 = 0$ с до $t = 1$ с и от $t = 1$ с до $t = 4$ с.

Найдем координату точки в момент смены направления движения, $t = 1$ с:

$x(1) = -2 + 1 - 0,5 \cdot 1^2 = -1 - 0,5 = -1,5$ м.

Путь на первом участке (от $t=0$ до $t=1$ с):

$L_1 = |x(1) - x(0)| = |-1,5 - (-2)| = |0,5| = 0,5$ м.

Путь на втором участке (от $t=1$ до $t=4$ с):

$L_2 = |x(4) - x(1)| = |-6 - (-1,5)| = |-4,5| = 4,5$ м.

Суммарный путь за 4 секунды:

$L = L_1 + L_2 = 0,5 + 4,5 = 5$ м.

Ответ: перемещение точки равно -4 м, а пройденный путь равен 5 м.

---

2. Электричка равномерно набирает скорость до 36 км/ч в течение 50 с, следующие 150 с она тормозит до полной остановки. Определите путь, пройденный электричкой за это время.

Дано

$v_{нач1} = 0$ м/с
$v_{кон1} = 36$ км/ч
$t_1 = 50$ с
$v_{нач2} = 36$ км/ч
$v_{кон2} = 0$ м/с
$t_2 = 150$ с

$v_{кон1} = v_{нач2} = 36 \frac{км}{ч} = 36 \cdot \frac{1000 \ м}{3600 \ с} = 10 \frac{м}{с}$

Найти:

$\text{L}$ - ?

Решение

Весь путь электрички состоит из двух участков: разгона и торможения. Движение на обоих участках равноускоренное (с положительным и отрицательным ускорением соответственно).

1. Найдем путь, пройденный на участке разгона ($L_1$).

Поскольку движение равноускоренное, путь можно найти по формуле средней скорости:

$L_1 = \frac{v_{нач1} + v_{кон1}}{2} \cdot t_1$

$L_1 = \frac{0 + 10}{2} \cdot 50 = 5 \cdot 50 = 250$ м.

2. Найдем путь, пройденный на участке торможения ($L_2$).

Начальная скорость на этом участке равна конечной скорости на участке разгона $v_{нач2} = v_{кон1} = 10$ м/с.

$L_2 = \frac{v_{нач2} + v_{кон2}}{2} \cdot t_2$

$L_2 = \frac{10 + 0}{2} \cdot 150 = 5 \cdot 150 = 750$ м.

3. Найдем общий путь как сумму путей на двух участках.

$L = L_1 + L_2 = 250 + 750 = 1000$ м.

1000 м = 1 км.

Ответ: путь, пройденный электричкой, равен 1000 м или 1 км.