Вариант 5*, страница 11 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Кинематика. Самостоятельная работа № 5. Путь и перемещение при равноускоренном прямолинейном движении - страница 11.

Условие.

Вариант 5*

1. Движение тела представлено таблицей зависимости координаты от времени. Запишите уравнение движения тела.

$\text{t}$ (с)	0	1	2	3	4	5	6	7
$\text{x}$ (м)	2	4	8	14	22	32	44	58

2. Небольшое тело движется прямолинейно с постоянным ускорением. В некоторой точке скорость тела составляла 4 м/с, а пройдя некоторое расстояние, тело увеличило скорость до 12 м/с. Определите скорость тела в точке на середине пройденного расстояния.

Решение.

1. Для того чтобы записать уравнение движения тела, необходимо определить вид этого движения на основе данных из таблицы. Общий вид уравнения движения для равноускоренного движения: $x(t) = x_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$, где $x_0$ — начальная координата, $v_0$ — начальная скорость, $\text{a}$ — ускорение.

1. Определение начальной координаты $x_0$.
Из таблицы при $t = 0$ с, координата $x(0) = 2$ м. Следовательно, $x_0 = 2$ м.

2. Определение вида движения.
Вычислим перемещения тела за последовательные равные промежутки времени $\Delta t = 1$ с:
За первую секунду (от $t=0$ до $t=1$): $\Delta x_1 = x(1) - x(0) = 4 - 2 = 2$ м.
За вторую секунду (от $t=1$ до $t=2$): $\Delta x_2 = x(2) - x(1) = 8 - 4 = 4$ м.
За третью секунду (от $t=2$ до $t=3$): $\Delta x_3 = x(3) - x(2) = 14 - 8 = 6$ м.
Поскольку перемещения за равные промежутки времени различны, движение не является равномерным. Проверим, является ли оно равноускоренным.

3. Определение ускорения $\text{a}$.
Найдем средние скорости на этих интервалах:
$v_{ср1} = \frac{\Delta x_1}{\Delta t} = \frac{2}{1} = 2$ м/с.
$v_{ср2} = \frac{\Delta x_2}{\Delta t} = \frac{4}{1} = 4$ м/с.
$v_{ср3} = \frac{\Delta x_3}{\Delta t} = \frac{6}{1} = 6$ м/с.
Для равноускоренного движения средняя скорость за интервал времени равна мгновенной скорости в середине этого интервала. Ускорение можно найти как изменение скорости за единицу времени:
$a = \frac{v_{ср2} - v_{ср1}}{\Delta t} = \frac{4 - 2}{1} = 2$ м/с².
$a = \frac{v_{ср3} - v_{ср2}}{\Delta t} = \frac{6 - 4}{1} = 2$ м/с².
Ускорение постоянно и равно $a = 2$ м/с², следовательно, движение является равноускоренным.

4. Определение начальной скорости $v_0$.
Используем уравнение $x(t) = x_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$ для момента времени $t = 1$ с:
$x(1) = x_0 + v_0 \cdot 1 + \frac{a \cdot 1^2}{2}$
$4 = 2 + v_0 + \frac{2 \cdot 1}{2}$
$4 = 2 + v_0 + 1$
$v_0 = 4 - 3 = 1$ м/с.

5. Запись уравнения движения.
Подставим найденные значения $x_0 = 2$ м, $v_0 = 1$ м/с, $a = 2$ м/с² в общую формулу:
$x(t) = 2 + 1 \cdot t + \frac{2t^2}{2}$
Упрощая, получаем итоговое уравнение движения:
$x(t) = 2 + t + t^2$.
Единицы измерения в СИ: $\text{x}$ в метрах, $\text{t}$ в секундах.

Ответ: $x(t) = t^2 + t + 2$

2. Дано:
Движение прямолинейное, равноускоренное.
Начальная скорость на рассматриваемом участке $v_1 = 4$ м/с.
Конечная скорость на рассматриваемом участке $v_2 = 12$ м/с.

Найти:
$v_m$ — скорость тела в точке на середине пройденного расстояния.

Решение:
Для решения задачи воспользуемся формулой, связывающей перемещение, скорость и ускорение при равноускоренном движении, не содержащей время:
$S = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2a}$ , или в ином виде $v_f^2 = v_i^2 + 2aS$, где $\text{S}$ — пройденное расстояние, $v_i$ — начальная скорость, $v_f$ — конечная скорость, $\text{a}$ — ускорение.

Пусть полное пройденное расстояние равно $\text{S}$. Тогда для всего пути можно записать:
$v_2^2 = v_1^2 + 2aS$.

Нам нужно найти скорость $v_m$ на середине пути, то есть на расстоянии $S/2$ от начальной точки. Для первой половины пути уравнение будет выглядеть так:
$v_m^2 = v_1^2 + 2a\frac{S}{2} = v_1^2 + aS$.

Из первого уравнения выразим произведение $aS$:
$2aS = v_2^2 - v_1^2 \Rightarrow aS = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2}$.

Теперь подставим полученное выражение для $aS$ во второе уравнение:
$v_m^2 = v_1^2 + \frac{v_2^2 - v_1^2}{2}$.

Приведем к общему знаменателю:
$v_m^2 = \frac{2v_1^2 + v_2^2 - v_1^2}{2} = \frac{v_1^2 + v_2^2}{2}$.

Теперь мы можем подставить числовые значения из условия задачи:
$v_m^2 = \frac{4^2 + 12^2}{2} = \frac{16 + 144}{2} = \frac{160}{2} = 80$ (м²/с²).

Чтобы найти скорость $v_m$, извлечем квадратный корень:
$v_m = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ м/с.

Ответ: $v_m = 4\sqrt{5}$ м/с.