Вариант 5*, страница 12 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Кинематика. Самостоятельная работа № 6. Движение с постоянным ускорением - страница 12.

Условие.

Вариант 5*

1. Тело бросают вертикально вверх со скоростью 5 м/с. Одновременно с предельной высоты, которой оно может достичь, бросают вертикально вниз другое тело с такой же начальной скоростью. Через какой промежуток времени они встретятся?

2. С покоящегося воздушного шара сбросили без начальной скорости два груза с промежутком в 1 с. Определите расстояние между грузами через 2 с и 4 с после начала движения первого груза.

Решение.

1. Дано:

$v_0 = 5$ м/с
Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

$\text{t}$ — время до встречи тел.

Решение:

Выберем систему отсчёта, связанную с Землёй. Начало координат ($y=0$) расположим в точке броска первого тела, а ось $OY$ направим вертикально вверх. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Сначала определим максимальную высоту $\text{H}$, на которую поднимется первое тело. В верхней точке траектории его скорость становится равной нулю. Используя уравнение скорости для равноускоренного движения $v = v_0 + at$, где ускорение $a = -g$, находим время подъёма $t_{подъёма}$:

$0 = v_0 - gt_{подъёма} \Rightarrow t_{подъёма} = \frac{v_0}{g}$

Максимальная высота подъёма $\text{H}$ определяется из уравнения координаты $y(t) = y_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$:

$H = v_0 t_{подъёма} - \frac{g t_{подъёма}^2}{2} = v_0 \frac{v_0}{g} - \frac{g}{2} (\frac{v_0}{g})^2 = \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^2}{2g} = \frac{v_0^2}{2g}$

Теперь запишем уравнения движения для обоих тел. Время $\text{t}$ отсчитываем с момента начала движения.

Для первого тела, брошенного вверх из начальной точки $y_0 = 0$:$y_1(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Второе тело бросают одновременно с первым, но с высоты $\text{H}$ вертикально вниз с начальной скоростью, равной по модулю $v_0$. Его начальная координата $y_0 = H$, а проекция начальной скорости на ось OY отрицательна, $v_{0y} = -v_0$. Уравнение его движения:

$y_2(t) = H - v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Тела встретятся, когда их координаты будут равны: $y_1(t) = y_2(t)$.

$v_0 t - \frac{gt^2}{2} = H - v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Сократив слагаемое $-\frac{gt^2}{2}$ в обеих частях уравнения, получим:

$v_0 t = H - v_0 t$

$2v_0 t = H$

Отсюда находим время встречи $\text{t}$:

$t = \frac{H}{2v_0}$

Подставим ранее найденное выражение для $H = \frac{v_0^2}{2g}$:

$t = \frac{v_0^2 / (2g)}{2v_0} = \frac{v_0^2}{4gv_0} = \frac{v_0}{4g}$

Вычислим время встречи, подставив числовые значения:

$t = \frac{5 \text{ м/с}}{4 \times 9,8 \text{ м/с²}} = \frac{5}{39,2} \text{ с} \approx 0,128$ с

Ответ: тела встретятся через промежуток времени, примерно равный $0,128$ с.

2. Дано:

Начальная скорость грузов $v_0 = 0$ м/с
Промежуток времени между бросками $\Delta t = 1$ с
Моменты времени для определения расстояния $t_1 = 2$ с, $t_2 = 4$ с
Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

$\Delta h_1$ — расстояние между грузами через $t_1 = 2$ с.
$\Delta h_2$ — расстояние между грузами через $t_2 = 4$ с.

Решение:

Выберем систему отсчёта, связанную с Землёй. Начало координат ($h=0$) расположим в точке, где находился воздушный шар, а ось $OH$ направим вертикально вниз. Движение обоих грузов является свободным падением без начальной скорости.

Запишем уравнения движения для обоих грузов. Время $\text{t}$ отсчитываем от момента начала движения первого груза.

Координата первого груза, сброшенного в момент времени $t=0$, определяется по формуле:$h_1(t) = \frac{gt^2}{2}$

Второй груз был сброшен на $\Delta t = 1$ с позже. Следовательно, в момент времени $\text{t}$ (при условии $t \ge \Delta t$) он будет находиться в движении в течение времени $(t - \Delta t)$. Его координата будет равна:$h_2(t) = \frac{g(t - \Delta t)^2}{2}$

Расстояние между грузами $\Delta h$ в любой момент времени $\text{t}$ (при $t \ge \Delta t$) равно разности их координат:$\Delta h(t) = h_1(t) - h_2(t) = \frac{gt^2}{2} - \frac{g(t - \Delta t)^2}{2}$

Упростим полученное выражение:$\Delta h(t) = \frac{g}{2} (t^2 - (t - \Delta t)^2) = \frac{g}{2} (t^2 - (t^2 - 2t\Delta t + (\Delta t)^2)) = \frac{g}{2} (2t\Delta t - (\Delta t)^2) = g\Delta t (t - \frac{\Delta t}{2})$

Теперь найдём расстояние между грузами в заданные моменты времени, подставив значения $g=9,8$ м/с² и $\Delta t = 1$ с.

Через $t_1 = 2$ с после начала движения первого груза:$\Delta h_1 = \Delta h(2) = 9,8 \times 1 \times (2 - \frac{1}{2}) = 9,8 \times 1,5 = 14,7$ м.

Через $t_2 = 4$ с после начала движения первого груза:$\Delta h_2 = \Delta h(4) = 9,8 \times 1 \times (4 - \frac{1}{2}) = 9,8 \times 3,5 = 34,3$ м.

Ответ: через 2 с расстояние между грузами составит $14,7$ м; через 4 с расстояние составит $34,3$ м.