Вариант 4, страница 13 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Кинематика. Самостоятельная работа № 7. Движение тела по вертикальной прямой. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - страница 13.

Условие.

Вариант 4

1. Тело бросают вертикально вверх со скоростью $50 \text{ м/с}$. Какое расстояние пролетит тело за третью секунду полёта?

1) $5 \text{ м}$ 2) $10 \text{ м}$ 3) $15 \text{ м}$ 4) $25 \text{ м}$ 5) $30 \text{ м}$

2. Снаряд запускают со скоростью $50 \text{ м/с}$ под углом $60^\circ$ к горизонту. Определите скорость снаряда через $2 \text{ с}$ полёта.

Решение.

1. Дано:

Начальная скорость тела, $v_0 = 50$ м/с

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с² (направлено вниз, против начальной скорости)

Интервал времени: третья секунда полета, т.е. от $t_1 = 2$ с до $t_2 = 3$ с.

Найти:

Расстояние $\text{S}$, которое пролетит тело за третью секунду полета.

Решение:

Движение тела, брошенного вертикально вверх, является равнозамедленным. Уравнение координаты (высоты) тела в зависимости от времени $\text{t}$ имеет вид:

$y(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Чтобы найти расстояние, пройденное за третью секунду, нужно найти разность координат тела в моменты времени $t_2 = 3$ с и $t_1 = 2$ с. Сначала определим, достигнет ли тело максимальной высоты за это время. Время подъема до максимальной высоты $t_{max}$ находится из условия, что в верхней точке траектории скорость тела равна нулю ($v=0$):

$v(t) = v_0 - gt$

$0 = v_0 - gt_{max} \implies t_{max} = \frac{v_0}{g} = \frac{50 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = 5$ с

Так как $t_{max} = 5$ с, то в интервале времени от 2 с до 3 с тело все еще движется вверх. Следовательно, пройденное расстояние будет равно разности высот в эти моменты времени.

Найдем высоту тела в момент времени $t_1 = 2$ с:

$y(2) = 50 \cdot 2 - \frac{10 \cdot 2^2}{2} = 100 - \frac{10 \cdot 4}{2} = 100 - 20 = 80$ м

Найдем высоту тела в момент времени $t_2 = 3$ с:

$y(3) = 50 \cdot 3 - \frac{10 \cdot 3^2}{2} = 150 - \frac{10 \cdot 9}{2} = 150 - 45 = 105$ м

Расстояние, пройденное за третью секунду полета, равно:

$S = y(3) - y(2) = 105 \text{ м} - 80 \text{ м} = 25$ м

Ответ: 25 м (вариант 4).

2. Дано:

Начальная скорость снаряда, $v_0 = 50$ м/с

Угол к горизонту, $\alpha = 60^\circ$

Время полета, $t = 2$ с

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Скорость снаряда $\text{v}$ через 2 с полета.

Решение:

Движение снаряда можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали (ось Ox) и равноускоренное по вертикали (ось Oy).

Разложим начальную скорость на горизонтальную и вертикальную составляющие:

Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos \alpha = 50 \cdot \cos 60^\circ = 50 \cdot \frac{1}{2} = 25$ м/с

Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin \alpha = 50 \cdot \sin 60^\circ = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}$ м/с

Теперь найдем составляющие скорости через $t = 2$ с полета. Горизонтальная составляющая скорости не меняется, так как в этом направлении нет ускорения:

$v_x(t) = v_{0x} = 25$ м/с

Вертикальная составляющая скорости изменяется под действием силы тяжести:

$v_y(t) = v_{0y} - gt$

Подставим значения для $t = 2$ с:

$v_y(2) = 25\sqrt{3} - 10 \cdot 2 = 25\sqrt{3} - 20$ м/с

Теперь, имея обе составляющие скорости в момент времени $t=2$ с, найдем модуль полной скорости по теореме Пифагора:

$v = \sqrt{v_x(2)^2 + v_y(2)^2} = \sqrt{25^2 + (25\sqrt{3} - 20)^2}$

Раскроем скобки и вычислим:

$v = \sqrt{625 + (25\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 25\sqrt{3} \cdot 20 + 20^2}$

$v = \sqrt{625 + (625 \cdot 3) - 1000\sqrt{3} + 400}$

$v = \sqrt{625 + 1875 - 1000\sqrt{3} + 400} = \sqrt{2900 - 1000\sqrt{3}}$

Для получения численного ответа используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$v \approx \sqrt{2900 - 1000 \cdot 1.732} = \sqrt{2900 - 1732} = \sqrt{1168} \approx 34.18$ м/с

Ответ: скорость снаряда через 2 с полета составит примерно 34,2 м/с.