Вариант 5*, страница 13 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 7. Движение тела по вертикальной прямой. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Кинематика. Механика - страница 13.

Условие.

Вариант 5*

1. Тело бросают вертикально вверх со скоростью $25 \text{ м/с}$. Определите путь, пройденный телом за третью секунду полёта.

2. Тело запустили под углом к горизонту. Время полёта составило $2 \text{ с}$, дальность полёта — $6 \text{ м}$. Определите начальную скорость тела.

Решение.

1. Дано:

Начальная скорость: $v_0 = 25$ м/с

Рассматриваемый интервал времени: третья секунда, т.е. от $t_1 = 2$ с до $t_2 = 3$ с

Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с² (принимаем для удобства расчетов)

Найти:

$S_{3}$ — путь, пройденный телом за третью секунду полёта.

Решение:

Направим ось координат OY вертикально вверх от точки броска. Движение тела является равноускоренным с ускорением $a = -g$.

Зависимость высоты от времени описывается уравнением:

$y(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Зависимость скорости от времени:

$v(t) = v_0 - gt$

Чтобы найти путь, нужно учесть возможное изменение направления движения. Определим время, когда тело достигнет максимальной высоты, то есть когда его скорость станет равной нулю.

$v(t_{подъема}) = 0 \Rightarrow v_0 - gt_{подъема} = 0$

$t_{подъема} = \frac{v_0}{g} = \frac{25 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = 2.5$ с

Время подъема $t_{подъема} = 2.5$ с попадает в интересующий нас интервал времени (от 2 с до 3 с). Это означает, что в течение третьей секунды тело сначала поднималось (в промежутке от 2 с до 2.5 с), а затем опускалось (в промежутке от 2.5 с до 3 с).

Пройденный путь $S_3$ будет равен сумме расстояний, пройденных вверх и вниз за эти промежутки времени. Найдем положения тела в моменты времени $t=2$ с, $t=2.5$ с и $t=3$ с.

Высота в момент $t=2$ с:

$y(2) = 25 \cdot 2 - \frac{10 \cdot 2^2}{2} = 50 - 20 = 30$ м

Высота в момент $t=2.5$ с (максимальная высота):

$y(2.5) = 25 \cdot 2.5 - \frac{10 \cdot (2.5)^2}{2} = 62.5 - 5 \cdot 6.25 = 62.5 - 31.25 = 31.25$ м

Высота в момент $t=3$ с:

$y(3) = 25 \cdot 3 - \frac{10 \cdot 3^2}{2} = 75 - 45 = 30$ м

Путь, пройденный вверх с 2 с до 2.5 с:

$S_{вверх} = y(2.5) - y(2) = 31.25 \text{ м} - 30 \text{ м} = 1.25$ м

Путь, пройденный вниз с 2.5 с до 3 с:

$S_{вниз} = |y(3) - y(2.5)| = |30 \text{ м} - 31.25 \text{ м}| = 1.25$ м

Общий путь за третью секунду равен сумме этих путей:

$S_3 = S_{вверх} + S_{вниз} = 1.25 \text{ м} + 1.25 \text{ м} = 2.5$ м

Ответ: 2.5 м.

2. Дано:

Время полёта: $T = 2$ с

Дальность полёта: $L = 6$ м

Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с²

Найти:

$v_0$ — начальная скорость тела.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как два независимых движения: равномерное по горизонтали (ось OX) и равноускоренное по вертикали (ось OY).

Пусть начальная скорость $v_0$ направлена под углом $\alpha$ к горизонту. Разложим ее на составляющие:

Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$

Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

Движение по горизонтали описывается формулой: $x(t) = v_{0x} t$. Дальность полета $\text{L}$ — это координата $\text{x}$ в момент времени $t=T$.

$L = v_{0x} T$

Отсюда находим горизонтальную составляющую скорости:

$v_{0x} = \frac{L}{T} = \frac{6 \text{ м}}{2 \text{ с}} = 3$ м/с

Движение по вертикали описывается формулой: $y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2}$. В конце полета ($t=T$) тело возвращается на начальную высоту, то есть $y(T)=0$.

$0 = v_{0y} T - \frac{gT^2}{2}$

Поскольку $T \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\text{T}$:

$v_{0y} - \frac{gT}{2} = 0$

Отсюда находим вертикальную составляющую скорости:

$v_{0y} = \frac{gT}{2} = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ с}}{2} = 10$ м/с

Начальная скорость $v_0$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $v_{0x}$ и $v_{0y}$. По теореме Пифагора:

$v_0 = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2} = \sqrt{3^2 + 10^2} = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109}$ м/с

Приблизительное значение: $v_0 \approx 10.44$ м/с.

Ответ: $\sqrt{109}$ м/с (или приблизительно 10.44 м/с).