Вариант 4, страница 14 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Кинематика. Самостоятельная работа № 8. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - страница 14.

Условие.

Вариант 4

1. С балкона, расположенного на высоте 30 м, бросают камень под углом $45^\circ$ к горизонту со скоростью $20 м/с$. Через какое время камень упадёт на землю?

2. С высоты 5 м бросают небольшое тело со скоростью $10 м/с$ под углом $60^\circ$ к горизонту. Как зависят от времени горизонтальная и вертикальная составляющие скорости тела?

Решение.

1. Дано:

$h_0 = 30 \text{ м}$

$v_0 = 20 \text{ м/с}$

$\alpha = 45^\circ$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\text{t}$ — время падения камня.

Решение:

Движение камня представляет собой движение тела, брошенного под углом к горизонту, из точки, находящейся на некоторой высоте над землей. Разложим движение на две составляющие: равномерное по горизонтали (ось Ox) и равноускоренное по вертикали (ось Oy). Направим ось Oy вертикально вверх, а начало координат разместим на земле прямо под балконом.

Начальные координаты камня: $x_0 = 0$; $y_0 = h_0 = 30 \text{ м}$.

Проекции начальной скорости на оси координат:

$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Уравнение движения камня по вертикали имеет вид:

$y(t) = y_0 + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

Камень упадёт на землю, когда его вертикальная координата станет равной нулю, то есть $y(t) = 0$. Подставим это условие в уравнение движения:

$0 = h_0 + v_0 \sin(\alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

Мы получили квадратное уравнение относительно времени $\text{t}$. Перепишем его в стандартном виде $\frac{g}{2}t^2 - (v_0 \sin\alpha)t - h_0 = 0$.

Подставим числовые значения:

$h_0 = 30 \text{ м}$

$v_0 \sin(\alpha) = 20 \cdot \sin(45^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \text{ м/с}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{10}{2}t^2 - 10\sqrt{2}t - 30 = 0$

$5t^2 - 10\sqrt{2}t - 30 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$t^2 - 2\sqrt{2}t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 8 + 24 = 32$

Найдем корни уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm 4\sqrt{2}}{2}$

Получаем два корня:

$t_1 = \frac{2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ с}$

$t_2 = \frac{2\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{2} = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \text{ с}$

Поскольку время не может быть отрицательным, физический смысл имеет только положительный корень.

$t = 3\sqrt{2} \approx 3 \cdot 1.414 \approx 4.24 \text{ с}$

Ответ: Камень упадёт на землю через $3\sqrt{2}$ с, что примерно равно 4,24 с.

2. Дано:

$h_0 = 5 \text{ м}$

$v_0 = 10 \text{ м/с}$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

Зависимость горизонтальной $v_x(t)$ и вертикальной $v_y(t)$ составляющих скорости от времени.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как наложение двух независимых движений: равномерного прямолинейного в горизонтальном направлении и равноускоренного в вертикальном направлении. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Горизонтальная составляющая скорости ($v_x$):

В горизонтальном направлении на тело не действуют никакие силы, поэтому его ускорение в этом направлении равно нулю ($a_x = 0$). Следовательно, горизонтальная составляющая скорости тела остается постоянной на протяжении всего полета и равной ее начальному значению:

$v_x(t) = v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

Подставим данные из условия задачи:

$v_x(t) = 10 \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot 0.5 = 5 \text{ м/с}$

Таким образом, горизонтальная составляющая скорости не зависит от времени и всегда равна 5 м/с.

Вертикальная составляющая скорости ($v_y$):

В вертикальном направлении на тело действует сила тяжести, которая сообщает ему постоянное ускорение свободного падения $\text{g}$, направленное вниз. Если направить ось Oy вертикально вверх, то проекция ускорения на эту ось будет $a_y = -g$.

Скорость при равноускоренном движении находится по формуле $v(t) = v_0 + at$. Для вертикальной составляющей скорости это будет:

$v_y(t) = v_{0y} + a_y t = v_0 \sin(\alpha) - gt$

Найдем начальную вертикальную составляющую скорости:

$v_{0y} = 10 \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ м/с}$

Таким образом, зависимость вертикальной составляющей скорости от времени имеет вид:

$v_y(t) = (5\sqrt{3} - gt) \text{ м/с}$

Если принять $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$, то формула будет $v_y(t) = (5\sqrt{3} - 9.8t) \text{ м/с}$.

Ответ: Горизонтальная составляющая скорости постоянна и не зависит от времени: $v_x(t) = 5 \text{ м/с}$. Вертикальная составляющая скорости зависит от времени линейно: $v_y(t) = (5\sqrt{3} - gt) \text{ м/с}$, где $\text{g}$ – ускорение свободного падения.