Вариант 5*, страница 15 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Кинематика. Самостоятельная работа № 9. Движение материальной точки по окружности с постоянной скоростью. Кинематика твёрдого тела - страница 15.

Условие.

Вариант 5*

1. Длина секундной стрелки часов в 2 раза меньше длины минутной стрелки. Во сколько раз линейная скорость конца секундной стрелки больше линейной скорости конца минутной стрелки?

1) 10 2) 20 3) 30 4) 60 5) линейные скорости равны

2. Диск вращается в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью. Линейная скорость крайних точек диска равна 5 м/с, а точек, расположенных на 20 см ближе к оси вращения, равна 3 м/с. Определите ускорение крайних точек диска.

Решение.

1. Линейная скорость $\text{v}$ конца стрелки связана с её длиной (радиусом вращения) $\text{L}$ и периодом обращения $\text{T}$ формулой $v = \omega L = \frac{2\pi L}{T}$, где $\omega$ - угловая скорость.

Обозначим длину и период обращения секундной стрелки как $L_с$ и $T_с$, а минутной стрелки — как $L_м$ и $T_м$.

Из условия задачи известно, что длина секундной стрелки в 2 раза меньше длины минутной: $L_с = \frac{L_м}{2}$

Период обращения секундной стрелки (время одного полного оборота) составляет 60 секунд: $T_с = 60$ с.

Период обращения минутной стрелки составляет 60 минут, что в секундах равно: $T_м = 60 \text{ мин} = 60 \cdot 60 \text{ с} = 3600$ с.

Теперь запишем выражения для линейных скоростей концов стрелок:
Скорость конца секундной стрелки: $v_с = \frac{2\pi L_с}{T_с} = \frac{2\pi L_с}{60}$.
Скорость конца минутной стрелки: $v_м = \frac{2\pi L_м}{T_м} = \frac{2\pi L_м}{3600}$.

Чтобы найти, во сколько раз скорость конца секундной стрелки больше скорости конца минутной, найдем их отношение $\frac{v_с}{v_м}$:
$\frac{v_с}{v_м} = \frac{\frac{2\pi L_с}{60}}{\frac{2\pi L_м}{3600}} = \frac{L_с}{L_м} \cdot \frac{3600}{60} = \frac{L_с}{L_м} \cdot 60$.

Подставим соотношение длин стрелок $L_с = \frac{L_м}{2}$, или $\frac{L_с}{L_м} = \frac{1}{2}$:
$\frac{v_с}{v_м} = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30$.

Таким образом, линейная скорость конца секундной стрелки в 30 раз больше.

Ответ: 3) 30.

2. Дано:

$v_1 = 5$ м/с
$v_2 = 3$ м/с
$\Delta r = 20$ см

Перевод в систему СИ:
$\Delta r = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

$a_1$

Решение:

Все точки вращающегося диска имеют одинаковую угловую скорость $\omega$. Линейная скорость $\text{v}$ точки на расстоянии $\text{r}$ от оси вращения определяется как $v = \omega r$. Поскольку диск вращается с постоянной угловой скоростью, ускорение его точек является только центростремительным (нормальным), которое вычисляется по формуле $a = \frac{v^2}{r}$ или $a = \omega^2 r$.

Пусть $\text{R}$ - радиус диска (расстояние от оси до крайних точек). Тогда для крайних точек диска линейная скорость $v_1$ равна:
$v_1 = \omega R$ (1)

Для точек, расположенных на $\Delta r$ ближе к оси вращения, радиус будет $r_2 = R - \Delta r$, а их линейная скорость $v_2$ равна:
$v_2 = \omega (R - \Delta r)$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $\omega$ и $\text{R}$. Выразим $\omega$ из каждого уравнения и приравняем:
$\omega = \frac{v_1}{R}$
$\omega = \frac{v_2}{R - \Delta r}$
$\frac{v_1}{R} = \frac{v_2}{R - \Delta r}$

Решим это уравнение относительно радиуса диска $\text{R}$:
$v_1(R - \Delta r) = v_2 R$
$v_1 R - v_1 \Delta r = v_2 R$
$v_1 R - v_2 R = v_1 \Delta r$
$R (v_1 - v_2) = v_1 \Delta r$
$R = \frac{v_1 \Delta r}{v_1 - v_2}$

Подставим числовые значения для нахождения радиуса:
$R = \frac{5 \text{ м/с} \cdot 0.2 \text{ м}}{5 \text{ м/с} - 3 \text{ м/с}} = \frac{1 \text{ м}^2/\text{с}}{2 \text{ м/с}} = 0.5 \text{ м}$.

Теперь можно найти ускорение $a_1$ крайних точек диска, используя формулу центростремительного ускорения $a_1 = \frac{v_1^2}{R}$:
$a_1 = \frac{(5 \text{ м/с})^2}{0.5 \text{ м}} = \frac{25 \text{ м}^2/\text{с}^2}{0.5 \text{ м}} = 50 \text{ м/с}^2$.

Ответ: $50 \text{ м/с}^2$.