Вариант 2, страница 16 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 10. Период и частота обращения. Кинематика. Механика - страница 16.

Условие.

Вариант 2

1. Колесо радиусом 40 см совершает 4 оборота за 1 с. С какой скоростью движется колесо?

2. Два цилиндра соединены ремённой передачей. Диаметр первого цилиндра 60 см, и он совершает 300 оборотов в минуту. Второй цилиндр совершает в 4 раза больше оборотов за то же время. Определите радиус второго цилиндра.

Решение.

1. Дано:

Радиус колеса, $R = 40$ см
Число оборотов, $N = 4$
Время, $t = 1$ с

$R = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

Скорость колеса, $\text{v}$ - ?

Решение:

Скорость движения колеса (линейная скорость) — это расстояние, которое проходит центр колеса за единицу времени. При качении без проскальзывания это расстояние равно пути, пройденному точкой на ободе.

За один полный оборот колесо проходит расстояние, равное длине его окружности $\text{L}$. Длина окружности вычисляется по формуле:
$L = 2 \pi R$

За $N=4$ оборота колесо пройдет общее расстояние $\text{S}$:
$S = N \cdot L = N \cdot 2 \pi R$

Скорость движения $\text{v}$ определяется как отношение пройденного расстояния $\text{S}$ ко времени $\text{t}$:
$v = \frac{S}{t} = \frac{N \cdot 2 \pi R}{t}$

Подставим данные значения в систему СИ:
$v = \frac{4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 0.4 \text{ м}}{1 \text{ с}} = 3.2 \pi \text{ м/с}$

Для получения численного ответа примем значение $\pi \approx 3.14$:
$v \approx 3.2 \cdot 3.14 \text{ м/с} \approx 10.048 \text{ м/с}$

Округляя результат до сотых, получаем $v \approx 10.05 \text{ м/с}$.

Ответ: скорость движения колеса составляет примерно $10.05$ м/с.

2. Дано:

Диаметр первого цилиндра, $d_1 = 60$ см
Число оборотов первого цилиндра, $n_1 = 300$ об/мин
Соотношение числа оборотов второго цилиндра к первому: $n_2 = 4 n_1$

$d_1 = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м} \implies R_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{0.6 \text{ м}}{2} = 0.3 \text{ м}$
$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найти:

Радиус второго цилиндра, $R_2$ - ?

Решение:

Когда два цилиндра соединены ремённой передачей, линейные скорости точек на их ободах равны скорости движения ремня, а значит, равны между собой:
$v_1 = v_2$

Линейная скорость $\text{v}$ связана с радиусом $\text{R}$ и частотой вращения $\text{f}$ (число оборотов в секунду, Гц) формулой:
$v = 2 \pi f R$

Приравняем линейные скорости для двух цилиндров:
$2 \pi f_1 R_1 = 2 \pi f_2 R_2$

Сократив общий множитель $2 \pi$, получим соотношение:
$f_1 R_1 = f_2 R_2$

Частота вращения $\text{f}$ — это число оборотов в секунду. Переведем частоту вращения первого цилиндра из об/мин в об/с (Гц):
$f_1 = \frac{300 \text{ об}}{1 \text{ мин}} = \frac{300 \text{ об}}{60 \text{ с}} = 5 \text{ об/с} = 5 \text{ Гц}$

По условию, второй цилиндр совершает в 4 раза больше оборотов за то же время. Это значит, что его частота вращения $f_2$ в 4 раза больше частоты $f_1$:
$f_2 = 4 f_1$

Подставим это соотношение в наше уравнение:
$f_1 R_1 = (4 f_1) R_2$

Так как $f_1 \ne 0$, мы можем сократить его в обеих частях уравнения:
$R_1 = 4 R_2$

Отсюда выразим искомый радиус второго цилиндра $R_2$:
$R_2 = \frac{R_1}{4}$

Радиус первого цилиндра $R_1$ равен половине его диаметра $d_1$:
$R_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{60 \text{ см}}{2} = 30 \text{ см}$

Теперь вычислим $R_2$:
$R_2 = \frac{30 \text{ см}}{4} = 7.5 \text{ см}$

Ответ: радиус второго цилиндра равен $7.5$ см.