Вариант 3, страница 18 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Кинематика. Контрольная работа. Кинематика - страница 18.

Условие.

Вариант 3

1. Установите соответствие между параметрами движения и формулами, их описывающими, для равномерного движения по окружности.

А) Ускорение

Б) Скорость

1) $(v - v_0)/t$

2) $2\pi R/T$

3) $v \cdot t$

4) $x_0 + \frac{1}{2} at^2$

5) $v^2/R$

2. Два тела, находясь на расстоянии 187,5 м, одновременно начинают движение вдоль одной прямой навстречу друг другу. Начальная скорость первого тела 10 м/с, его ускорение $2 \text{ м/с}^2$. Начальная скорость второго тела 20 м/с, его ускорение $1 \text{ м/с}^2$. На сколько средняя скорость второго тела больше средней скорости первого тела за промежуток времени от начала движения до их встречи?

3. С балкона, находящегося на высоте 15 м, вертикально вверх бросают мяч со скоростью 10 м/с. Определите время полёта мяча и его скорость в момент падения на землю.

4. Как изменится центростремительное ускорение точек обода колеса, если период обращения колеса уменьшится в 5 раз?

1) уменьшится в 5 раз

2) уменьшится в 25 раз

3) не изменится

4) увеличится в 5 раз

5) увеличится в 25 раз

Решение.

1. А) Ускорение. При равномерном движении по окружности тело испытывает центростремительное ускорение, направленное к центру окружности. Оно вычисляется по формуле $a_c = \frac{v^2}{R}$. Эта формула соответствует варианту 5.

Б) Скорость. Линейная скорость точки при равномерном движении по окружности определяется как длина окружности $L = 2\pi R$, деленная на период обращения $\text{T}$. Формула для скорости: $v = \frac{2\pi R}{T}$. Эта формула соответствует варианту 2.

Ответ: А-5, Б-2.

2. Дано:

Начальное расстояние между телами, $S = 187,5$ м

Параметры первого тела: $v_{01} = 10$ м/с, $a_1 = 2$ м/с²

Параметры второго тела: $v_{02} = 20$ м/с, $a_2 = 1$ м/с²

Найти:

На сколько средняя скорость второго тела $\langle v_2 \rangle$ больше средней скорости первого тела $\langle v_1 \rangle$ ($\langle v_2 \rangle - \langle v_1 \rangle$).

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Направим ось OX от первого тела ко второму. Поместим начало координат в начальное положение первого тела ($x_{01} = 0$). Тогда начальная координата второго тела будет $x_{02} = S = 187,5$ м.

Уравнение движения для первого тела: $x_1(t) = v_{01}t + \frac{a_1 t^2}{2} = 10t + \frac{2t^2}{2} = 10t + t^2$.

Второе тело движется навстречу первому, поэтому проекции его начальной скорости и ускорения на ось OX будут отрицательными: $v_{02x} = -20$ м/с, $a_{2x} = -1$ м/с². Уравнение движения для второго тела: $x_2(t) = S + v_{02x}t + \frac{a_{2x} t^2}{2} = 187,5 - 20t - \frac{1 \cdot t^2}{2} = 187,5 - 20t - 0,5t^2$.

Тела встретятся, когда их координаты станут равны: $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$.

$10t + t^2 = 187,5 - 20t - 0,5t^2$

$1,5t^2 + 30t - 187,5 = 0$

Разделим все уравнение на 1,5:

$t^2 + 20t - 125 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-125) = 400 + 500 = 900$.

$t = \frac{-20 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{-20 \pm 30}{2}$.

Время не может быть отрицательным, поэтому выбираем положительный корень: $t_{встр} = \frac{-20 + 30}{2} = 5$ с.

Теперь найдем пути, пройденные телами до встречи. Путь - это модуль перемещения.

Путь первого тела: $S_1 = |x_1(5) - x_1(0)| = |10 \cdot 5 + 5^2| = 50 + 25 = 75$ м.

Путь второго тела: $S_2 = |x_2(0) - x_2(5)| = |187,5 - (187,5 - 20 \cdot 5 - 0,5 \cdot 5^2)| = |100 + 12,5| = 112,5$ м.

Средняя путевая скорость вычисляется как отношение пройденного пути ко времени движения.

Средняя скорость первого тела: $\langle v_1 \rangle = \frac{S_1}{t_{встр}} = \frac{75 \text{ м}}{5 \text{ с}} = 15$ м/с.

Средняя скорость второго тела: $\langle v_2 \rangle = \frac{S_2}{t_{встр}} = \frac{112,5 \text{ м}}{5 \text{ с}} = 22,5$ м/с.

Найдем разность средних скоростей:

$\Delta \langle v \rangle = \langle v_2 \rangle - \langle v_1 \rangle = 22,5 \text{ м/с} - 15 \text{ м/с} = 7,5$ м/с.

Ответ: средняя скорость второго тела больше средней скорости первого на 7,5 м/с.

3. Дано:

Начальная высота, $h = 15$ м

Начальная скорость, $v_0 = 10$ м/с

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Время полёта мяча $\text{t}$ и его скорость $\text{v}$ в момент падения на землю.

Решение:

Выберем систему отсчета с началом на поверхности земли ($y=0$), ось OY направим вертикально вверх. Тогда начальная координата мяча $y_0 = h = 15$ м. Начальная скорость направлена вверх, её проекция на ось OY положительна: $v_{0y} = v_0 = 10$ м/с. Ускорение свободного падения направлено вниз, его проекция отрицательна: $a_y = -g = -10$ м/с².

Уравнение движения мяча: $y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$.

$y(t) = 15 + 10t - \frac{10t^2}{2} = 15 + 10t - 5t^2$.

В момент падения на землю координата мяча $y(t) = 0$.

$15 + 10t - 5t^2 = 0$

Разделим уравнение на -5 для удобства:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Так как время не может быть отрицательным, время полета мяча составляет $t = 3$ с.

Определим скорость мяча в момент падения. Уравнение для проекции скорости: $v_y(t) = v_{0y} + a_y t = 10 - 10t$.

Подставим время падения $t=3$ с:

$v = v_y(3) = 10 - 10 \cdot 3 = 10 - 30 = -20$ м/с.

Знак "минус" означает, что вектор скорости направлен вниз. Модуль скорости равен 20 м/с.

Ответ: время полёта мяча 3 с, его скорость в момент падения на землю 20 м/с (направлена вниз).

4. Решение:

Центростремительное ускорение $a_c$ связано с линейной скоростью $\text{v}$ и радиусом $\text{R}$ по формуле $a_c = \frac{v^2}{R}$.

Линейная скорость $\text{v}$ выражается через период обращения $\text{T}$ как $v = \frac{2\pi R}{T}$.

Подставим выражение для скорости в формулу ускорения:

$a_c = \frac{(2\pi R / T)^2}{R} = \frac{4\pi^2 R^2}{T^2 R} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$.

Из этой формулы видно, что центростремительное ускорение обратно пропорционально квадрату периода ($a_c \propto \frac{1}{T^2}$).

Если период обращения $\text{T}$ уменьшается в 5 раз (новый период $T' = T/5$), то новое ускорение $a_c'$ будет равно:

$a_c' = \frac{4\pi^2 R}{(T')^2} = \frac{4\pi^2 R}{(T/5)^2} = \frac{4\pi^2 R}{T^2/25} = 25 \cdot \frac{4\pi^2 R}{T^2} = 25 a_c$.

Следовательно, центростремительное ускорение увеличится в 25 раз.

Ответ: 5) увеличится в 25 раз.