Вариант 5*, страница 19 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Кинематика. Контрольная работа. Кинематика - страница 19.

Условие.

Вариант 5*

1. Уравнение движения тела имеет вид $x = 6t - 2t^2$. Какое уравнение правильно описывает зависимость проекции скорости $v_x$ этого тела от времени?

1) $v_x = 6 - 2t$ 2) $v_x = 4t$ 3) $v_x = 6 - 4t$ 4) $v_x = -2t$ 5) $v_x = 12 - 4t$

2. В тот момент, когда пассажиру оставалось до двери вагона дойти 12 м, поезд тронулся с ускорением $0,5 \text{ м/с}^2$ из состояния покоя. Человек побежал со скоростью 4 м/с, догоняя состав. Сможет ли человек попасть в вагон? Сколько времени ему может понадобиться? Проанализируйте полученный ответ.

3. Камень бросили под углом $45^\circ$ к горизонту. Максимальная высота подъёма камня составила 15 м. Определите дальность полёта камня.

4. Центростремительное ускорение второго колеса в 6,4 раза больше центростремительного ускорения первого. Во сколько раз радиус первого колеса больше радиуса второго, если период обращения первого колеса больше периода обращения второго в 4 раза?

Решение.

1. Уравнение движения тела дано в виде $x = 6t - 2t^2$.

Скорость тела $v_x$ является первой производной от координаты $\text{x}$ по времени $\text{t}$.

$v_x(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(6t - 2t^2)$

Применяя правила дифференцирования, получаем:

$v_x = 6 \cdot 1 - 2 \cdot 2t^{2-1} = 6 - 4t$.

Таким образом, уравнение, описывающее зависимость проекции скорости от времени, имеет вид $v_x = 6 - 4t$. Это соответствует варианту ответа 3).

Ответ: 3) $v_x = 6 - 4t$

2. Дано:
Расстояние до вагона, $S = 12$ м
Ускорение поезда, $a = 0,5$ м/с²
Начальная скорость поезда, $v_{0п} = 0$ м/с (из состояния покоя)
Скорость человека, $v_ч = 4$ м/с

Найти:
Сможет ли человек попасть в вагон? Время $\text{t}$ - ?

Решение:
Примем за начало отсчета начальное положение человека, а направление его движения — за положительное направление оси OX.

Тогда уравнение движения человека (равномерное движение) будет:
$x_ч(t) = v_ч t = 4t$

Дверь вагона в начальный момент времени находится в точке с координатой $x_{0д} = S = 12$ м. Поезд движется равноускоренно из состояния покоя. Уравнение движения двери вагона:
$x_д(t) = x_{0д} + v_{0п}t + \frac{at^2}{2} = 12 + 0 \cdot t + \frac{0,5t^2}{2} = 12 + 0,25t^2$

Человек догонит дверь вагона в тот момент времени $\text{t}$, когда их координаты совпадут, то есть $x_ч(t) = x_д(t)$.
$4t = 12 + 0,25t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$0,25t^2 - 4t + 12 = 0$

Умножим уравнение на 4 для удобства вычислений:
$t^2 - 16t + 48 = 0$

Найдем дискриминант $\text{D}$:
$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 256 - 192 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Это означает, что человек сможет догнать вагон. Найдем эти корни:
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{16 \pm 8}{2}$

$t_1 = \frac{16 - 8}{2} = 4$ с
$t_2 = \frac{16 + 8}{2} = 12$ с

Полученные два положительных значения времени означают, что человек встретится с дверью вагона дважды. Первая встреча произойдет через 4 секунды. В этот момент он может зайти в вагон. Вторая встреча в 12 секунд означает, что если человек не войдет в вагон в первый раз, он его обгонит, но так как поезд ускоряется, то через некоторое время дверь вагона снова догонит человека.

Ответ: Да, человек сможет попасть в вагон. Ему понадобится 4 секунды.

3. Дано:
Угол броска, $\alpha = 45^\circ$
Максимальная высота подъёма, $H_{max} = 15$ м
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:
Дальность полёта, $\text{L}$ - ?

Решение:
Максимальная высота подъёма тела, брошенного под углом к горизонту, определяется формулой:
$H_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

Дальность полёта определяется формулой:
$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Из формулы для максимальной высоты выразим $v_0^2$:
$v_0^2 = \frac{2gH_{max}}{\sin^2\alpha}$

Подставим это выражение в формулу для дальности полёта:
$L = \frac{2gH_{max}}{\sin^2\alpha} \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{g} = \frac{2H_{max}\sin(2\alpha)}{\sin^2\alpha}$

Используя тригонометрическую формулу $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:
$L = \frac{2H_{max}(2\sin\alpha\cos\alpha)}{\sin^2\alpha} = 4H_{max}\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 4H_{max}\cot\alpha$

Подставим числовые значения:
$L = 4 \cdot 15 \cdot \cot(45^\circ)$

Так как $\cot(45^\circ) = 1$, то:
$L = 4 \cdot 15 \cdot 1 = 60$ м

Ответ: 60 м.

4. Дано:
$a_2 = 6,4 a_1$
$T_1 = 4 T_2$

Найти:
$\frac{R_1}{R_2}$ - ?

Решение:
Центростремительное ускорение $\text{a}$ связано с радиусом окружности $\text{R}$ и периодом обращения $\text{T}$ формулой:
$a = \frac{4\pi^2R}{T^2}$

Запишем эту формулу для первого и второго колёс:
$a_1 = \frac{4\pi^2R_1}{T_1^2}$
$a_2 = \frac{4\pi^2R_2}{T_2^2}$

Разделим второе уравнение на первое:
$\frac{a_2}{a_1} = \frac{\frac{4\pi^2R_2}{T_2^2}}{\frac{4\pi^2R_1}{T_1^2}} = \frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{T_1^2}{T_2^2}$

Из условий задачи мы знаем, что $\frac{a_2}{a_1} = 6,4$ и $T_1 = 4T_2$. Подставим эти соотношения в полученное уравнение:
$6,4 = \frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{(4T_2)^2}{T_2^2}$

$6,4 = \frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{16T_2^2}{T_2^2}$

$6,4 = \frac{R_2}{R_1} \cdot 16$

Нам нужно найти отношение $\frac{R_1}{R_2}$. Выразим его из последнего равенства:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{16}{6,4} = \frac{160}{64} = 2,5$

Ответ: Радиус первого колеса больше радиуса второго в 2,5 раза.